数学分析笔记
rogeryoungh
2023 年 12 月 13 日
目录
第一章 实数集与函数 1
1.1 前言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 集合和映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 序关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 代数初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 拓扑初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 数系的构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6.1 自然数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.2 整数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.3 有理数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.4 实数 · Dedekind 分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.5 实数 · Cauchy 序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.6 复数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 实数的完备性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
第二章 数列极限 14
2.1 数列极限的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 收敛数列的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Stolz 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 数列收敛的判别法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 单调数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 子列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Cauchy 准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 常见数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
第三章 函数极限 22
3.1 函数极限的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 函数极限的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 函数极限存在的条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 两个重要的极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 无穷小量与无穷大量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 常见等价无穷小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.1 连续函数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
i
3.7.2 初等函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
第四章 导数理论 31
4.1 导数的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.1 高阶导数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 求导法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.1 基本求导法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2 基本初等函数导数公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 极值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5.1 Rolle 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5.2 Lagrange 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5.3 Cauchy 中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5.4 凹凸性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6 L’Hospital 法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.7 Taylor 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7.1 Peano 型余项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.7.2 Lagrange 型余项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.7.3 Cauchy 型余项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
第五章 积分理论 41
5.1 不定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1 基本不定积分表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.1 可积条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 不定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.1 分项积分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.2 分部积分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.3 三角换元积分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.4 欧拉替换法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 定积分的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.1 中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.2 变量替换法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 反常积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.5.1
收敛判别法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.6 常见的积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
第六章 级数理论 54
6.1 数项级数的敛散性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 正项级数的敛散性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.1 常见级数的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3 一般项级数收敛判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3.1 交错级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
ii
6.4 函数项级数的一致收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.5 幂级数初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.6 求和函数的一些方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.6.1 多项式系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.6.2 存在分母 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.7 Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
第七章 常微分方程 61
7.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 变量分离微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3 一阶线性微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3.1 各种变形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3.2 可降阶的二阶微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4 恰当微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.5 齐次线性微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.5.1 常系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.5.2 常见二阶微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.6 Gronwall 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
第八章 多变量理论 68
8.1 多变量极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2 多变量导数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.2.1 隐函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.3 偏导数的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3.1 链式法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3.2 微分中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3.3 空间几何基础 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3.4 切线与法平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.4 极值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.4.1 无条件极值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.4.2 条件极值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.5 二重积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.5.1 曲面面积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.6 曲线和曲面积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.6.1 第一型曲线积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.6.2
第一型曲面积分
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.6.3 第二型曲线积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.6.4 第二型曲面积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.6.5 Green 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.6.6 Gauss 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.6.7 Stokes 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.6.8 旋转体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.7 场论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
iii
8.7.1 向量场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.7.2 向量场的散度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.7.3 旋度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
第九章 概率论 84
9.1 随机事件与概率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.1.1 摸球不放回模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.1.2 摸球放回模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2 一维随机变量及其分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.2.1 常见随机分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3 多维随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3.1 常见的二维分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3.2 二维随机变量的独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.4 随机变量的数字特征 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.5 大数定律与中心极限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.6 数理统计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.6.1 三大分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.6.2 参数的点估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
第十章 习题 95
10.1 函数、极限、连续 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.2 一元微分学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.3 一元积分学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.4 常微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.5 无穷级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.6 概率论与数理统计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
iv
第一章 实数集与函数
我初次用的书是华师的数分，现在发觉基础部分有相当多的细节。后参考自李逸的《基本分析讲义》。
若无额外说明，皆在 R 下。仍有很多术语不曾了解。
1.1
前言
实数理论确实很难以理解。
我初次接触华师数分时，实数看的云里雾里，不知道为什么要罗列一大堆定理，索性直接跳过，读的
倒也算通顺。初入门径后，又读了几本其他的书，才感觉到实数理论的意义；但是感觉公理又多又乱，在
脑子里缠起来了。继续读下去，观点再高了一点，终于敢说懂了一点。
我尝试讲一讲。按照 Bourbaki 的观点，序结构连同拓扑和代数结构一道组成了数学结构的三大母体。
具体的说，如果只有一个光秃秃的集合，我们做不了太多事情。为了在这个集合上展开进一步的讨论，我
们需要对它装备一些结构：
1
1. 序结构：元素和元素的排序，比如实数上的大小关系、集合的包含关系。
2. 代数结构：元素和元素的运算，比如加法和乘法。
3. 拓扑结构：子集和子集之间的关系，比如点集的邻近性、敛散性、连续性。
学习实数，主要是抓住这三个方面的性质。接触了更多具体的例子，会对抽象的定义有更多的感悟。
1.2 集合和映射
集合的交并补是熟知的。
定义有序对为 (a, b)
:
= {{a}, {a, b}}，其中 a 称为有序对的第一坐标，而 b 称为第二坐标。特殊的，
(a, a) = {a}。
定义集合的笛卡尔 Cartesian 乘积为
A × B
:
= {(a, b) | a ∈ A且b ∈ B}
一般 A × B 6= B × A。同样可以推广到多个集合
Y
X
i
:
= X
1
× X
2
× ··· × X
n
= (X
1
× ··· × X
n−1
) × X
n
其元素 x 是多层嵌套，我们可以简记为
x = (···(x
1
, x
2
), x
3
), ··· , x
n
) = (x
1
, ··· , x
n
)
称 x
i
:
= pr
i
(x) 为 x 的第 i 个分量，pr 是投影映射。当所有 X
i
都等于 X 时，上述乘积记为 X
n
。
设 C 和 D 为两个给定的集合。
1
知乎：如何理解数学中的序结构, 代数结构和拓扑结构？
1
定义 1.2.1 赋值法则
设 R 是 C ×D 的一个子集，若满足当 (c, d
1
) ∈ R 且 (c, d
2
) ∈ R ⇒ d
1
= d
2
，称 R 是一个赋值法则。
赋值法则的定义域 Domain 和像域 Image Set 约定如下
dom(R)
:
= {c ∈ C | ∃d ∈ D, (c, d) ∈ R}
Im(R)
:
= {d ∈ D | ∃c ∈ C, (c, d) ∈ R}
定义 1.2.2
设 R 为一个赋值法则，B 为满足 Im(R) ⊆ B 的一个集合，记二元对 (R, B) 为一个映射，B 称为
值域。定义 f 的定义域 A 和像域为 R 的定义域和像域。记作
f : A → B, a 7→ f(a)
称 f 的图为
graph(f)
:
= {(a, f(a)) ∈ A × B | a ∈ A}
对任意给定的 A 的子集 A
0
，定义 f 在 A
0
上的限制为映射
f |
A
0
= f : A
0
→ B
称映射 f 和 g 的复合为
g ◦ f : A → C, a 7→ g(f(a))
显然 g ◦ f 仅当 Im(f ) ⊆ dom(g) 时有定义。f ◦ g 一般与 g ◦ f 不相等。
• 若映射 f 满足 f(a
1
) = f (a
2
) ⇒ a
1
, a
2
，称 f 为单射。
• 若映射 f 满足对任意的 b ∈ B 存在 a ∈ A 满足 f(a) = b，称 f 为满射。
• 若映射 f 满足 f 既是单射又是满射，称 f 为双射。
若 f 为双射，我们定义它的逆映射 f
−1
为
f
−1
(b) = a ⇔ f(a) = b
映射 ∗ : X × X → X 通常也称为集合 X 上的运算，此时我们把 ∗(x, y) 记做 x ∗ y。对 X 中的非空
子集定义
A ∗ B
:
= ∗(a × B) = {A ∗ b | a ∈ A, b ∈ B}
如果映射定义中的 B 是一个数域，则把映射称为函数。
1.3 序关系
称集合 S × S 的子集 为关系。把 (x, y) ∈ 记作 x y。
定义 1.3.1 等价关系
若集合 S 上的关系 ' 满足
• 自反性：对任意的 x ∈ S 有 x ' x。
2
• 对称性：若 x ' y 则 y ' x。
• 传递性：若 x ' y 且 y ' z 则 x ' z。
则称 ' 为等价关系，一般记作 ∼ 或 =。
记 x ∈ A 的等价类：
[x]
:
= {y ∈ A | y ∼ x}
定义 1.3.2 全序关系
若集合 S 上的关系 满足
• 反对称性：若 x y 且 y x 则 x = y。
• 传递性：若 x y 且 y z 则 x z。
• 完全性：对任意的 x, y ∈ S 要么 x y 要么 y x。（注意蕴含了自反性 x x）。
则称 为全序关系，(S, ) 为全序集。一般用 ⩽ 来表示全序关系.
对于每一非严格的全序关系 ⩽，定义其对应的严格全序关系 < 为：a < b 等价于 a ⩽ b 且 a 6= b。我
们对四个关系 <, ⩽, >, ⩾ 都可以定义全序集。
定义 1.3.3
设全序集 S
′
⊆ S，若 x ∈ S 是：
• S 的最大元：若不存在 y ∈ S 使得 x < y，则称 x 是最大元。
• S
′
的上界：若对于任取的 x
′
∈ S
′
满足 x
′
⩽ x，则称 x 是 S
′
的上界。
• S
′
的上确界：对于任取的 S
′
的上界 y 都有 x ⩽ y，且 x 是 S
′
的上界，则称 x 是 S
′
的上
确界。
类似的可定义全序集的最小元、下界、下确界。上、下确界分别记作 sup S
′
和 inf S
′
。比如取 A = A
′
=
(0, 1)，其上下确界都不存在。若取 A = R，上下确界存在也不一定在 A
′
里面。
定义 1.3.4 最小上界性
如果集合 S 的任何非空有上界子集 S
′
有最小上界，则称 S 有最小上界性。
换句话说，若任取非空子集 S
′
⊆ S，若 S
′
在 S 内存在上界，那么 S
′
在 S 内存在上确界。
例如 Q ∩ (0,
√
2) 是 Q 的非空子集，其上界
√
2 并不在 Q 内。
同样的有最小下界性。可以证明，有最小上界性的一定有最大下界性。展开描述即
定理 1.3.5
设 B 是具有最小上界性的集合 S 的子集，则对任意的有下界的 B 都有 inf B ∈ S。
证明 对于每个 B，构造 L 为 B 的下界组成的集合，显然每个 B 中的元素都是 L 的上界。由最小上界
性知，存在 sup L ∈ S。
尝试证明 inf B = sup L。
3
对于任意的 x ∈ B，若 x < sup L，则存在比 sup L 小的 L 的上界 x，矛盾。故 x ⩾ sup L，即 sup L
是 B 的下界。
设 B 的下界 x 有 x > sup L，那么 x ∈ L，则存在比 sup L 大的 L 元素，矛盾。故不存在比 sup L 大
的 B 的下界。
综上，B 的下界存在且 inf B = sup L ∈ S。 □
1.4
代数初步
首先给出一些性质。
定义 1.4.1
给定集合 A，设元素 x, y, z ∈ A，定义如下性质
• 封闭性：若 A ∗ A ⊆ A，则称 A 在运算 ∗ 下封闭。
• 结合性：若 x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z，则称运算 ∗ 是结合的。
• 交换性：若 x ∗ y = y ∗ x，则称运算 ∗ 是交换的。
• 单位元（幺元）：若存在 e ∈ A 使得 e ∗ x = x ∗ e = x，则称 e 为 A 上的单位元。
• 逆元（么元）：若存在 x
−1
∈ A 使得 x ∗ x
−1
= x
−1
∗ x = e，则称 x
−1
为 x 在 A 上的逆元。
注意 −x 和 x
−1
只是记号，不代表我们定义出了减法和除法运算。
定义 1.4.2 群，半群
给定集合 G 和其上的二元运算 ∗ : G × G → G，若：
• 满足结合律，称为半群。
• 满足单位元、交换性的半群，称为幺半群、交换半群。
• 每个元素都可逆的幺半群，称为群。
• 满足交换律的群，称为交换群（Abelian 群）。
例 1.4.3
群中单位元和逆元唯一。
证明 设 x 存在两个逆元 y
1
, y
2
，有
y
1
= y
1
∗ e = y
1
∗ x ∗ y
2
= e ∗ y
2
= y
2
类似的，设存在两个单位元 e
1
, e
2
，有
e
1
= e
1
∗ e
2
= e
2
□
定义 1.4.4 环，域
给定集合 R 和其上的二元运算 (R, +, ∗)，若：
• 满足 ( R, +) 是交换群，(R, ∗) 是幺半群，且乘法关于加法满足分配率，称为环。
• 环 R 中 (R, ∗) 可交换，称为交换环。
4
• 除零元外皆可逆的环，称为除环。
• 交换除环称为域。
1.5 拓扑初步
可以想象开集的基为开区间，闭集的基为闭区间。
定义 1.5.1 拓扑空间
设 T 是集合 X 子集的集族：
(O1) 若 ∅ ∈ T 且 X ∈ T 。
(O2) 若有限个 U
i
∈ T ，则
T
U
i
∈ T 。
(O3) 若任意个 U
α
∈ T ，则
S
U
α
∈ T 。
则称 (X, T ) 为拓扑空间，其中 T 是此空间的拓扑，T 的元素称为开集。在无歧义的情况下，也称
X 是拓扑空间。
定义 1.5.2 邻域
对于空间 X 和空间内一点 x ∈ X
1. 若子集 U 包含着某一开集且开集包含着 x，则称 U 为 x 的邻域。
2. 若子集 U 是开集且 x ∈ U，则称 U 为 x 的开邻域。
定义 1.5.3 闭集
对于空间 X，若其子集 F 满足 X − F 是开集，则称 F 是闭集。
例 1.5.4
换句话说：
1. 任意多开集的交集还是开集，有限个开集的并集还是开集。
2. 任意多闭集的交集还是闭集，有限个闭集的并集还是闭集。
定义 1.5.5 闭包，内核
设空间 X 和其子集 A，记
1. 所有包含 A 的闭集的交为 A 的闭包 A，即包含 A 的最小闭集，其中的元素称为 A 的接触点。
2. 所有包含 A 的开集的并为 A 的内核 A
◦
，即包含 A 的最大开集。
定义 1.5.6
对于空间 X 和其子集 A，若
1. A = X 则称集合 A 稠密于空间 X。
2. ( A)
◦
= ∅ 则称集合 A 疏（无处稠密）于空间 X。
显然 N 和 Z 疏于 R，Q 和 R − Q 稠密于 R。
5
虽然我们在小学二年级学过无理数的存在性，但我们仍对 Q 和 R 性状上的具体区别知之甚少。
定义 1.5.7 连通
若拓扑空间 X 不能表示为两个不相交闭集的并，则称 X 是连通空间。其子集 X
′
若是连通空间，
则称 X
′
是连通的。
可以得到 R 是连通的，Q 是不连通的。
依定义，闭区间是 R 内的开集，其任意数量的交都是闭集。假想一个不断变小的区间列，一层套一层。
定义 1.5.8 闭区间套
给定有限的一列闭区间
{
I
i
= [
a
i
, b
i
]
}
，若
（1）其是下降的
I
1
⊇ I
2
⊇ I
3
⊃ ···
；
（2）区间长度 lim
n→∞
(b
i
− a
i
) = 0；
那么称这一列区间是闭缩区间套，简称区间套。
定义 1.5.9 有序域
若域 F 是满足如下条件的有序集
（1）当 x, y, z ∈ F 且 y < z 时，x + y < x + z。
（2）如果 x, y ∈ F ，且 x > 0, y > 0，则 xy > 0。
那么称 F 是一个有序域。
例如 Q 是有序域。
定理 1.5.10 存在定理
具有最小上界性的有序域 R 存在，且包容着 Q 作为子域。
这个命题的证明较为复杂，是从 Q 出发构造 R，而且其中有很多重要的信息，决定单独一章，这里略
过。
定理 1.5.11 Achimedes 原理
对于 x, y ∈ R 且 x > 0，那么必定存在正整数 n，使得 nx > y。
证明 设 A = {nx | n ∈ N
+
}，若不存在 n 则 y 将是 A 的一个上界，由最小上界性可知 A 的上确界存在。
又因为小于上确界的数 sup A − x 不是上确界，即存在 m ∈ N
+
使得 sup A − x < mx，即 sup A <
(m + 1)x，矛盾。
故必定存在 n 使得 nx > y。 □
6
定义 1.5.12 度量空间
称集合 X 的元素为点，若存在 X 上双变量的函数 d : X × X → R，满足（x, y, z ∈ R）
• 若 x 6= y，则 d(x, y)；仅 d(x, x) = 0。
• 对于任意的 x, y 都有 d(x, y) = d(y, x)。
• 对于任意的 z，都有 d(x, y) ⩽ d(x, z) + d(z, y)。
就称 (X, d) 是一个度量空间（度量空间），函数 d 称作其上的距离函数。
这里的空间的含义是线性空间。
对于 X 的子集 Y ，定义其距离函数
d
Y
: Y × Y → R, (y
1
, y
2
) 7→ d
Y
(y
1
, y
2
) = d(y
1
, y
2
)
则 (Y, d
Y
) 仍是度量空间，称 d
Y
是 d 在 Y 上的诱导度量。(Y, d
Y
) 称作是 (X, d) 的子（度量）空间。
定义 1.5.13 稠密性
给定度量空间 (X, d)，Y 是 X 的子集。如果对任意的 x ∈ X 和任意小的 ε > 0，都存在 y ∈ Y ，使
得 d(y, x) < ε，我们就称 Y 在 X 中是稠密的。
例 1.5.14
Q 在 R 中稠密：对于 x, y ∈ R 且 x < y，那么必定存在 p ∈ Q，使得 x < p < y。
证明 由 Achimedes 原理，可设存在 n ∈ N
+
使得 n(y − x) > 1。
再设存在 m
1
, m
2
∈ N
+
，使得 m
1
> nx, m
2
> −nx。于是
−m
2
< nx < m
1
因此存在 m ∈ N
+
有 −m
2
⩽ m ⩽ m
1
使得
m − 1 ⩽ nx < m ⩽ 1 + nx < ny
从而存在 p = m/n 使得 x < p < y。 □
1.6 数系的构造
直到我读了陶哲轩的《实分析》时，才感到接受了实数理论。实数的定义是公理化的，不是构造性的。
更具体的说，我们不需要知道实数是什么，只需知道这些对象有什么性质，我们就可以抽象的处理它
们。从其他的数学对象出发来构造实数是可能的，有多种多样的模型，只要它们服从所有的公理并正确的
运作，都是满足的。
实数究竟有多少性质？从自然数开始。
公理 1.6.1 Peano 公理
若集合 N 和其上的映射 v(n) 满足
（1）0 ∈ N 。
7
（2）若 n ∈ N ，则 v(n) ∈ N。
（3）对于任意的 n ∈ N ，v(n) 6= 0。
（4）若 v(m) 6= v(n)，则 m 6= n。
（5）【归纳原理】设 P (n) 是关于自然数的性质，假设只要 P (n) 为真，则 P (v(n)) 也为真；且 P (0)
为真。那么对 N 中所有的元素 P 都为真。
那么称 N 为自然数，记作 N ，v( n) 称为后继函数。
1.6.1 自然数
设 m, n ∈ N，定义 N 上的加法 + 和乘法 · 为
0 + m
:
= m, v(n) + m
:
= v(n + m)
0 · m
:
= m, v(n) · m
:
= n · m + m
我们可以利用归纳原理推出我们熟悉的一些性质。
定理 1.6.2 N 的代数算律
对于 a, b, c ∈ N 有
（1）加法是结合的和交换的，且有单位元 0。
（2）乘法是结合的和交换的，且有单位元 1。
（3）分配律：(a + b) · c = a · c + b · c。
定义
1.6.3
N
的序
设 m, n ∈ N。
（1）若存在 a ∈ N，使得 n = m + a，称 m 小于等于 n，记作 m ⩽ n。
（
2
）若
n
⩾
m
且
n
6
=
m
，则称
m
严格小于
n
，记作
m < n
。
可以验证，< 和 ⩽ 是 N 上的序关系。
定理 1.6.4 加法保序
对于 a, b ∈ N，若 a > b，则 a + c > b + c。
1.6.2 整数
接下来几节，都是记 a, b, c 为当前集合的元素，x, y, z 都是被构造的集合的元素。
为了表达整数，定义二元组 (a, b)，其中 a, b ∈ N。记全体二元组的集合为 Z。我们约定
(a, b) = (c, d) ⇔ a + d = b + c
因为自然数的序是已定义的，于是定义 Z 上的序关系
(
a, b
)
⩽
(
c, d
)
⇔
a
+
d
⩽
b
+
c
然后是定义 N 上的加法和乘法
(a, b) + (c, d)
:
= (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d)
:
= (ac, bd)
8
可以验证，(n, 0) 与 n 有相同的性状，我们可以令其相等，从而把自然数嵌入到整数内。至此，我们
可以着手验证整数是否满足我们预想的性质。
定理 1.6.5 Z 的代数算律
对于 x, y, z ∈ Z 有
（1）加法是结合的和交换的，且有单位元 0，逆元存在。
（2）乘法是结合的和交换的，且有单位元 1。
（3）分配律：(x + y) · z = x · z + y · z。
即 Z 是一个交换环。于是
定理 1.6.6 Z 是有序域
（1）加法保序：当 x, y, z ∈ Z 且 y < z 时，x + y < x + z。
（2）乘法保序：如果 x, y ∈ Z，且 x > 0, y > 0，则 xy > 0。
我们有理由相信，(a, b) 符合我们对整数的一切想象。因此 Z = Z。
另外的，定义整数的负运算为 −(a, b) = ( b, a) ，以此定义减法
x − y
:
= x + (−y)
可以验证
(a, 0) − (b, 0) = ( a, b) = a − b
1.6.3 有理数
类似的，记整数的二元组 (a, b)，其中 a, b ∈ Z , b 6= 0，记全体二元组的集合为 Q。我们约定
(a, b) = (c, d) ⇔ ad = bc
因为整数的序是已定义的，于是定义 Q 上的序关系
(a, b) ⩽ (c, d) ⇔ ad ⩽ bc
于是定义 Q 上的加法和乘法
(a, b) + (c, d)
:
= (ad + bc, b + d)
(a, b) · (c, d)
:
= (a ·c, b · d)
定义加法逆元为 −( a, b)
:
= (−a, b)。可以验证，(a, 1) 与 a 有相同的性状，我们可以令其相等，从而把整
数嵌入到有理数内。
至此，我们可以着手验证有理数是否满足我们预想的性质。
定理 1.6.7 Q 的代数算律
对于 x, y, z ∈ Q 有
（1）加法是结合的和交换的，且有单位元 0，逆元存在。
（2）乘法是结合的和交换的，且有单位元 1，非零元逆元存在。
（3）分配律：(x + y) · z = x · z + y · z。
9
即 Q 是一个域。
定理 1.6.8 Q 是有序域
（1）加法保序：当 x, y, z ∈ Q 且 y < z 时，x + y < x + z。
（2）乘法保序：如果 x, y ∈ Q，且 x > 0, y > 0，则 xy > 0。
我们有理由相信，
(
a, b
)
符合我们对有理数的一切想象。因此
Q
=
Q
。
另外，定义倒数 (a, b)
−1
= (b, a)，显然 a, b 6= 0。从而定义除法
x/y
:
= x · y
−1
可以验证，
(a, 1)/(b, 1) = (a, b) = a/b
1.6.4 实数 · Dedekind 分割
定义 1.6.9 Dedekind 分割
对于给定的空间 S，A ⊂ S, A
′
= ∁
S
A，若满足以下三个条件
(D1) A 6= ∅, A 6= S(A
′
6= ∅)；
(D2) 当 p ∈ A, q ∈ A
′
时，p < q；
(D3)
不存在最大数：任给
p
∈
A
，存在
q
∈
A
，使得
p < q
；
则称 A 为 S 的一个分割。
直观的来说，我们把整个 S 划分成了下组 A 和上组 A
′
。
记 Q 上 Dedekind 分割的全体为 R，集合的相等即是 R 上的等价关系，R 上的序关系定义是
A ⊆ B ⇔ A ⩽ B
定义加法
A + B
:
= {a + b | a ∈ A, b ∈ B}
于是可以定义负运算
−A
:
= {s ∈ Q | ∃r > 0, −s − r ∈ ∁
Q
A}
−A
:
= {s ∈ Q | ∃r ∈ ∁
Q
A, s < −r}
然而乘法因为负数的问题，我们需要分类讨论。R 中存在加法单位元 0
∗
= {x ∈ Q | x ⩾ 0}，对于正
实数 A, B ⩾ 0
∗
，定义乘法
A · B
:
= {p ∈ Q | 存在 0 < a ∈ A, 存在 0 < b ∈ B, p < ab}
同时
A · B
:
=
−((−A) · B), A < 0
∗
, B ⩾ 0
∗
−(A · (−B)), A ⩾ 0
∗
, B < 0
∗
−((−A) · (−B)), A < 0
∗
, B < 0
∗
当 A > 0
∗
时，定义乘法逆元
A
−1
:
= {s ∈ Q | ∃r ∈ ∁
Q
A, s < r
−1
}
10
当 A < 0
∗
时，定义乘法逆元为 A
−1
:
= −(−A
−1
)。
至此，我们可以着手验证实数是否满足我们预想的性质。
定理 1.6.10 R 的代数算律
对于 x, y, z ∈ R 有
（1）加法是结合的和交换的，且有单位元 0，逆元存在。
（2）乘法是结合的和交换的，且有单位元 1，非零元逆元存在。
（3）分配律：(x + y) · z = x · z + y · z。
即 R 是一个域。
定理 1.6.11 R 是有序域
（1）加法保序：当 x, y, z ∈ R 且 y < z 时，x + y < x + z。
（2）乘法保序：如果 x, y ∈ R，且 x > 0, y > 0，则 xy > 0。
我们有理由相信，R 符合我们对实数性质的一切想象，从而 R = R。
定理 1.6.12 Dedekind 原理
设 A 为 R 上的 Dedekind 分割，A
′
= ∁
R
A，对于任给的 a ∈ A, a
′
∈ A
′
，存在 r ∈ R 使得 a < r ⩽ a
′
。
证明 由于 a, a
′
也是 Q 上的分割，下面使用集合的语言。显然 a
′
∈ A
′
是 A 的一个上界。构造
b =
[
a∈A
a
下证 a ⊂ b ⊆ a
′
。
首先证明 b 是 Q 上分割。
• D1：显然 b 非空，又因为对于任意的 a ∈ A, a
′
∈ A
′
都有 a ⊂ a
′
，故 b ⊆ a
′
（注意可取等），即
b 6= Q。
• D2：接下来取 β ∈ b, β
′
∈ ∁
Q
b，于是存在 a
0
∈ A 使得 β ∈ a
0
，此时 β
′
/∈ a
0
即 β
′
∈ a
′
0
，故 β < β
′
。
• D3：对于任意的 β
1
∈ b，存在 a
0
∈ b 使得 β
1
∈ a
0
，此时存在 α
1
∈ a
0
使得 β
1
< α
1
且 α
1
∈ b。
接下来证明 b /∈ A。假设 b ∈ A 即存在 a
0
使得 b = a
0
，但由 D3 总是存在 b = a
0
⊂ a
1
，与 b 是全体
并集矛盾。
因此 b ∈ A
′
，故 a ⊂ b ⊆ a
′
。 □
实数和有理数的最基本的一个区别就是有最小上界性。
定理 1.6.13 确界原理
R 具有最小上界性。即对于 R 的任何子集 S，若 S 在 R 内存在上界，那么 S 在 R 内存在上确界。
证明 设 B
′
是 S 全体上界组成的集合，即 B
′
= {x | ∀s ∈ S, x ⩾ s}，令
B = ∁
R
B
′
= {x | ∃s ∈ S, x < s}
试证 B 是 R 的一个分割。D1 和 D2 比较显然。显然对于任意的 b ∈ B 存在 s ∈ S 使得 x < s，那么总是
可以取 b
2
=
b+s
2
∈ B 使 x < b
2
。
11
由上文所证的 Dedekind 原理知，总存在 u ∈ R(B
′
) 使得任取上确界 b
′
∈ B
′
使得 u ⩽ b
′
，故 u 是上
确界。 □
1.6.5 实数 · Cauchy 序列
我们试图得到实数，是因为有理数还不足以表示所有的数，比如 x
2
= 2 的解。得到实数和前面的方
法有所不同，要复杂的多。
一个有理数上的序列 {a
n
}，是一个从集合 N 到 Q 的一个映射，即我们以前说的数列。
对于 Q 上的无限序列 {a
n
}，若对于任意的 ε > 0 存在 N ⩾ 0 使得当 j, k ⩾ N 时有
d(a
j
, a
k
) < ε
则称序列 {a
n
} 为 Cauchy 序列，记作 LIM(a
n
)。记 Cauchy 序列的全体为集合 R。
对于 Cauchy 序列 LIM(a
n
), LIM(b
n
)，若对于任意的 ε > 0 存在 N ⩾ 0 使得当 n ⩾ N 时有
d(a
n
, b
n
) < ε
则记作 LIM(a
n
) = LIM(b
n
)。
定义 R 的序关系，对于实数 x, y，若存在 Cauchy 序列满足 x = LIM(a
n
), y = LIM(b
n
)，对于 n ⩾ 1
有 a
n
⩽ b
n
，则 LIM(a
n
) ⩽ LIM(b
n
)。
于是定义 R 上的加法和乘法
LIM(a
n
) + LIM(b
n
)
:
= LIM(a
n
+ b
n
)
LIM(a
n
) · LIM(b
n
)
:
= LIM(a
n
b
n
)
定义负运算 −LIM(a
n
)
:
= LIM(−a
n
)。
定义倒数时会因为恼人的 0 出现了一些困难，解决的方法即是把 0 排出。若存在 c ∈ Q 满足 c > 0
使得 d(a
n
, 0) ⩾ c，则称 {a
n
} 为限制离开零的序列。若 x 为不为零的实数，则必存在一个限制离开零的
Cauchy 序列 LIM(a
n
) = x。
于是我们可以定义，设 x 为一个不为零的实数，则存在限制离开零的 Cauchy 序列 x = LIM(a
n
)，定
义倒数为
x
−1
:
= LIM(a
−1
n
)
可以验证，常数 Cauchy 序列 {a
n
} 与 a 具有相同的性状，因此可以令它们相等，从而使有理数嵌入
到实数中。
至此，我们可以着手验证实数是否满足我们预想的性质，在 Dedekind 分割中提过了，这里不再重复。
另外，定义 R 上的 Cauchy 序列，若对于任意的实数 ε > 0 存在 N ⩾ 0 使得当 j, k ⩾ N 时有
d(a
j
, a
k
) ⩽ ε
可以证明，R 上的 Cauchy 序列与 Q 上的 Cauchy 序列等价。
若存在实数 L 满足，存在 N > 0 使得当 n ⩾ N 时，都有 d(a
n
, L) ⩽ ε，则 a
n
收敛于 L，记作
lim
n→∞
a
n
= L
可以验证
LIM(a
n
) = lim
n→∞
a
n
12
1.6.6 复数
记实数的二元组 (a, b)，其中 a, b ∈ R，记全体二元组的集合为 C。我们约定
(a, b) = (c, d) ⇔ a = b ∧ c = d
复数没有序关系。定义 C 上的加法和乘法
(a, b) + (c, d)
:
= (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d)
:
= (ac − bd, ad + bc)
定义加法逆元为 −(a, b)
:
= (−a, −b)。可以验证，(a, 0) 与 a 具相同的性状，我们可以令其相等，从而
把实数嵌入到复数域内。
定义非零数的乘法逆元 (a, b)
−1
:
=
a
a
2
+b
2
, −
b
a
2
+b
2
。
1.7 实数的完备性
如上所见，实数可以有多种完全不同的定义。换句话说我们可以承认一些公理，使得些都是等价的公
理，以下举出几个例子。
• R0 Dedekind 原理；
• R1 确界原理；
• R2 单调有界原理;
• R3 区间套原理；
• R4 有限覆盖原理；
• R5 聚点原理；
• R6 致密性原理；
• R7 柯西收敛原理；
• R8 介值定理；
• R9 连通性原理；
• R10 Achimedes 原理；
这些定理是彼此等价的，其逻辑关系是
R0 ⇔ R1 ⇔ R2 ⇔ R3 + R10 ⇔ R4 ⇔ R5 ⇔ R6 ⇔ R7 + R10 ⇔ R8 ⇔ R9
因此都可以选作实数的完备性（连续性）公理。互相推导很适合作为课后练习，可以查看 知乎：实数的完
备性定理。
确界原理由于其简明的性质，我们将在其上构建极限与收敛的体系。
13
第二章 数列极限
2.1 数列极限的概念
定义 2.1.1 数列极限的 ε − N 定义
设 {a
n
} 为数列，A 为定数。若对任给的正数 ε，总存在正整数 N = N(ε)，使得当 n > N 时有
|a
n
− A| < ε
则称数列 {a
n
} 收敛于 A，或称 A 为数列 {a
n
} 的极限，记作
lim
n→∞
a
n
= A，或 a
n
→ a(n → ∞)
若数列 {a
i
} 存在 A ∈ R 使得 a
n
→ A 成立，则称为收敛的。反之称为发散的，逻辑展开即：对任意
A 都有 a
n
不收敛至 A。
在使用 ε − N 语言时，N (ε) 的选取是非常有技巧的，需要多加练习才能感悟到。
特殊地，若 lim
n→∞
a
n
= 0 ，则称 {a
n
} 为无穷小数列。
定义 2.1.2 无穷大数列
若数列 {a
n
} 满足：对任意正数 M > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，
（1）a
n
> M ，则称数列 {a
n
} 发散于正无穷大，记作 lim
n→∞
a
n
= +∞，或 a
n
→ +∞。
（2）有 a
n
< M ，则称数列 {a
n
} 发散于负无穷大，记作 lim
n→∞
a
n
= −∞，或 a
n
→ −∞ 。
两者合称无穷大数列。
例 2.1.3
证明数列 a
n
= sin n 发散。
证明 不妨假设其极限为 A，任取 ε 存在 N 使得当 n > N 时有 |sin n − A| < ε。注意到
|2 sin 1 cos n| = |sin(n + 1) − sin(n − 1)| < 2ε
可以得到 cos n → 0，又
|sin 2n| = 2|sin n cos n| < 2|cos n| <
2ε
sin
1
从而 sin n → 0。显然有矛盾
|sin
2
2n + cos
2
2n| <
5ε
2
sin
2
1
< 1
故不存在极限，即发散。 □
14
2.2 收敛数列的性质
定理 2.2.1 唯一性
若数列 {a
n
} 收敛，则它只有一个极限。
证明 如果数列 {a
n
} 同时以 A, B 为极限，即任给 ε > 0，总存在 N
1
, N
2
，使得
|a
n
− A| < ε, n > N
1
; | a
n
− B| < ε, n > N
2
那么当 n > max{N
1
, N
2
} 时需要恒成立
2ε > |a
n
− A| + |a
n
− B| ⩾ |A − B|
当 A 6= B 时，对于 2ε < |A − B| 不恒成立，因此只能 A = B。 □
定理 2.2.2 有界性
若数列 {a
n
} 收敛，则 {a
n
} 有界。
证明 不妨设 lim
n→∞
a
n
= A。令 ε = 1，那么存在 n > N 使得
|a
n
− A| ⩽ 1
令
M = {|a
1
|, ··· , |a
N
|, |A − 1|, |A + 1|}
那么对任意正整数 n，总有 |a
n
| ⩽ M 。 □
定理 2.2.3 保序性
设 lim
n→∞
a
n
= A, lim
n→∞
b
n
= B，则有
（1）如果存在 N 使得当 n > N 时有 a
n
⩾ b
n
恒成立，则 A ⩾ B。
（2）反之，如果 A > B，则存在 N 使得当 n > N
1
时 a
n
> b
n
恒成立。
证明 （1）如果设 B − A = 2δ > 0，那么存在 N
2
, N
3
> N
|a
n
− A| < δ, n > N
2
; |b
n
− B| < δ, n > N
3
于是当 n > max{N
2
, N
3
} 时有
a
n
< A + δ = B − δ < b
n
因此矛盾，故 A ⩾ B。
（2）设 A − B = 2δ > 0，那么存在 N
2
, N
3
|a
n
− A| < δ, n > N
2
; |b
n
− B| < δ, n > N
3
于是存在 N
1
= max{N
2
, N
3
}，当 n > N
1
时有
a
n
> A − δ = B + δ > b
n
□
若 b
n
是常数列，A 6= 0，我们还可得到推论：存在 N ，使得当 n > N 时，有
1
2
|A| < |a
n
| <
3
2
|A|
15
定理 2.2.4 迫敛性，夹逼定理
设数列 {a
n
}, {b
n
}, {c
n
} 满足当 n > N
0
有 a
n
⩽ c
n
⩽ b
n
。若
lim
n→∞
a
n
= A = lim
n→∞
c
n
则 lim
n→∞
b
n
= A。
证明 即对于任给的 ε > 0，存在 N
1
, N
2
，使得当 n > N
1
有
A − ε < a
n
< A + ε
当 n > N
2
有
A − ε < c
n
< A + ε
因此当 n > max{N
0
, N
1
, N
2
} 时，有
A − ε < a
n
⩽ b
n
⩽ c
n
< A + ε
□
例 2.2.5
如果 a
1
, ··· , a
k
> 0，那么有
lim
n→∞
n
p
a
n
1
+ ··· + a
n
k
= max{a
1
, ··· , a
k
}
证明 不妨设 a
1
= max{a
1
, ··· , a
k
}，那么有
a
1
<
n
p
a
n
1
+ ··· + a
n
k
<
n
p
ka
n
1
→ a
1
由夹逼原理知原式成立。 □
定理
2.2.6
四则运算
设 lim
n→∞
a
n
= A, lim
n→∞
b
n
= B，则有
（1）{αa
n
+ βb
n
} 收敛到 αA + βB，其中 α, β 为常数。
（2）{a
n
b
n
} 收敛到 AB。
（
3
）当
B
6
= 0
时，
{
a
n
/b
n
}
收敛到
A/B
。
证明 （1）任给 ε > 0，存在 N
1
, N
2
使得
|a
n
− A| <
ε
2|α| + 1
, n > N
1
; |b
n
− B| <
ε
2|β| + 1
, n > N
2
则当 n > max{N
1
, N
2
} 时有
|(αa
n
+ βb
n
) − (αA + βB)| ⩽ |α||a
n
− A| + |β||b
n
− B|
<
ε|α|
2|α| + 1
+
ε|β|
2|β| + 1
<
ε
2
+
ε
2
= ε
16
（2）由收敛数列的有界性，存在 M 使得 | a
n
| ⩽ M ，那么
0 ⩽ |a
n
b
n
− AB| = |(a
n
− A)b
n
+ A(b
n
− B)| ⩽ M|a
n
− A| + |A||b
n
− B|
由迫敛性知 lim
n→∞
|a
n
b
n
− AB| = 0。
（3）由保号性的推论，存在 N 使得当 n > N 时有 |b
n
| >
|B|
2
，那么
0 ⩽
1
b
n
−
1
B
=
|b
n
− B|
|b
n
||B|
⩽
2
|B|
2
|b
n
− B|
由迫敛性知 lim
n→∞
1
b
n
−
1
B
= 0 。 □
2.2.1 Stolz 定理
Stolz 定理主要是用来处理 ∞/∞ 型和 0/0 型极限，可以认为是洛必达的替代。
定理 2.2.7
对于任意的 1 ⩽ k ⩽ n，设 b
k
> 0 且 m ⩽
a
k
b
k
⩽ M，则有
m ⩽
P
a
n
P
b
n
⩽ M
定理 2.2.8 Stolz 定理一
设数列 {x
n
}, {y
n
}，且 {y
n
} 严格单调地趋于 +∞，如果
lim
n→∞
x
n
− x
n−1
y
n
− y
n−1
= A
则
lim
n→∞
x
n
y
n
= A
证明 分类讨论 Todo…… □
定理 2.2.9 Stolz 定理二
设数列 {y
n
} 严格单调地趋于 0，且数列 {x
n
} 也收敛到 0，那么如果
lim
n→∞
x
n
− x
n−1
y
n
− y
n−1
= A
则
lim
n→∞
x
n
y
n
= A
证明 分类讨论 Todo…… □
2.3 数列收敛的判别法则
我们需要一些更方便的判别法则。
17
2.3.1 单调数列
若数列 {a
n
} 各项满足关系式 a
n
⩽ a
n+1
(a
n
⩾ a
n+1
)，则称 {a
n
} 为递增（递减）数列，统称为单调数
列。
定理 2.3.1 单调有界定理
单调有界数列必有极限。
证明 不妨设 {a
i
} 为有上界的单调递增序列，由确界原理知存在上确界 β。按其定义，任给 ε > 0 都存
在 N 使得 β − ε < a
N
< β（否则 β − ε 就是新的上确界）。故 |a
n
− β| < ε，即收敛至 β。 □
2.3.2 子列
设 {a
n
} 为数列，如果 {n
k
} 是一列严格递增的正整数，则数列 {a
n
k
} 称为数列 {a
n
} 的一个子列。子
列显然有性质 n
k
⩾ k，归纳易证。
特殊的子列 {a
2k
} 和 {a
2k−1
} 分别称为偶子列与奇子列。数列本身也是其自己的子列。
定理 2.3.2 Weierstrass 致密性定理
任何有界数列必定有收敛的子列。
证明 不妨设数列包含无数个不同的 a
n
，否则显然成立。假设数列有界，设其值域为 [A
0
, B
0
]。注意到我
们可以对分区间为 [A
0
,
A
0
+B
0
2
] 和 [
A
0
+B
0
2
, B
0
]，至少其中之一包含无穷多个 a
n
，记为 [A
1
, B
1
]。我们可以
不断划分，得到一闭缩区间套
[A
0
, B
0
] ⊃ [A
1
, B
1
] ⊂ ···
总是可以在区间中找到下标递增的项，即我们要求的子列。 □
定理 2.3.3
数列 {a
n
} 收敛的充要条件：{a
n
} 的任何子列都收敛。
2.3.3 Cauchy 准则
定义 2.3.4
设 {a
n
} 为数列，如果任给 ε > 0，均存在 N (ε) 使任取 m, n > N(ε) 有
|a
m
− a
n
| < ε
则称 {a
n
} 为 Cauchy 数列或基本列。
反之，若存在 ε > 0 使得任给 N 都存在 n, m > N 使得
|a
n
− a
m
| ⩾ ε
则称该数列为非 Cauchy 的。
18
定理 2.3.5
Cauchy 数列必定是有界数列。
证明 取 ε = 1，则存在 N 使得当 m, n > N 时有
|a
m
− a
n
| < 1
令 M = max{|a
k
| + 1 | 1 ⩽ k ⩽ N + 1}，则当 n ⩽ N 时显然有 |a
n
| ⩽ M ，而当 n > N 时有
|a
n
| ⩽ |a
n
− a
N+1
| + |a
N+1
< 1 + |a
N+1
| ⩽ M
这说明 {a
n
} 是有界数列。 □
定理 2.3.6 Cauchy 收敛准则
{a
n
} 为 Cauchy 数列当且仅当它是收敛的。
证明 （1）充分性：设 {a
n
} 收敛到 A，则任给 ε > 0 存在 N，当 n > N 时有
|a
n
− A| ⩽
ε
2
因此当 m, n > N 时有
|a
m
− a
n
| ⩽ |a
m
− A| + |A − a
n
| <
ε
2
+
ε
2
= ε
这说明 a
n
为 Cauchy 数列。
（2）必要性：已证 Cauchy 列有界，则必存在收敛子列 {a
u
k
}，因此任给 ε > 0 存在 N
1
使得当 u
i
> N
1
时有
|a
u
i
− A| <
ε
2
又由定义知存在 N
2
使得任取 n, m > N
2
有
|a
n
− a
m
| <
ε
2
因此取 N = max{N
1
, N
2
}，取 u
k
> N ，则当 n > N 时有
|a
n
− A| ⩽ |a
n
− a
u
k
| + |a
u
k
− A| ⩽ ε
□
定理 2.3.7 不动点原理
设递推数列 a
n+1
= f(a
n
)，假设 a
n
⊂ (α, β)，若存在常数 L ∈ (0, 1) 使得对任意 x, y ∈ (α, β) 有
|f(x) − f(y)| ⩽ L|x − y|
则数列收敛。
证明 首先类似于等比
|a
n+1
− a
n
| ⩽ ··· ⩽ L
n−1
|a
2
− a
1
|
从而
|a
n+k
− a
n
| ⩽
k
X
i=1
|a
n+i
− a
n+i−1
| ⩽
k
X
i=1
L
n+i
|a
2
− a
1
| ⩽
L
n−1
1 − L
|a
2
− a
1
|
由 Cauchy 收敛准则知数列收敛。 □
19
2.4 常见数列
首先我们定义三个数列
a
n
=
1 +
1
n
n
, b
n
=
1 +
1
n
n+1
, e
n
=
n
X
i=0
1
k!
我们通常定义 a
n
的极限为 e。下证三者极限存在且相同。
其中 e
n
的单调性是显然的。我们先证：
a
n
< a
n+1
, b
n
> b
n+1
首先
a
n
=
n
X
k=0
n
k
1
n
k
= 1 +
n
X
k=1
1
k!
k−1
Y
j=1
1 −
j
n
< 1 +
n
X
k=1
1
k!
k−1
Y
j=1
1 −
j
n + 1
< 1 +
n+1
X
k=1
1
k!
k−1
Y
j=1
1 −
j
n + 1
= a
n+1
再借助 Bernoulli 不等式
b
n−1
b
n
=
1 +
1
n−1
n
1 +
1
n
n+1
=
1 +
1
n
2
− 1
n
1
1 +
1
n
>
1 +
n
n
2
− 1
1
1 +
1
n
= 1 +
1
(n + 1)
2
(n − 1)
> 1
注意到当 n > 2 时
a
n
⩽ 1 +
n
X
k=1
1
k!
= e
n
⩽ 2 +
n
X
k=2
1
k(k − 1)
= 3 −
1
n
< 3
故 a
n
和 b
n
单调有界，故必有极限。再注意到
b
n
=
1 +
1
n
a
n
由极限的四则运算，故 b
n
的极限也存在，且 a
n
和 b
n
收敛于同一个值。
我们定义 a
n
的极限为 e，下证 e
n
→ e。注意到固定 u 有
a
n
= 1 +
n
X
k=1
1
k!
k−1
Y
j=1
1 −
j
n
> 1 +
u
X
k
=1
1
k!
k−1
Y
j=1
1
−
j
n
20
那么令 n → ∞，有
e
k
=
u
X
k=0
1
k!
⩽ a
n
→ e
故由夹逼定理知 e
n
→ e。
21
第三章 函数极限
3.1 函数极限的概念
定义 3.1.1
设
f
为定义在
[
a,
+
∞
)
上的函数，
A
为定数。若对任给的
ε >
0
，存在正数
M
=
M
(
ε
)
⩾
a
，使得
当 x > M 时，有
|f(x) − A| < ε
则称函数 f 当 x 趋于 +∞ 时以 A 为极限，记作
lim
x→+∞
f(x) = A 或 f (x) → A(x → +∞)
类似的有 lim
x→−∞
f(x) 和 lim
x→∞
f(x)。不难证明
lim
x→∞
f(x) = A ⇔ lim
x→−∞
f(x) = lim
x→+∞
f(x) = A
为了描述在某点处的极限，我们需要邻域的概念
U(a; δ) = (a − δ, a + δ)
和空心邻域的概念
U
◦
(a; δ) = ( a − δ, a) ∪ (a, a + δ)
定义 3.1.2
设函数 f 在 U
◦
(x
0
; δ
′
) 内有定义，A 为定数。若对任给的 ε > 0，存在正数 δ < δ
′
，使得当 0 <
|x − x
0
| < δ 时，有 |f (x) − A| < ε，则称函数 f 当 x 趋于 x
0
时以 A 为极限，记作
lim
x→x
0
f(x) = A 或 f (x) → A(x → x
0
)
定义 3.1.3
设函数 f 在 U
◦
+
(x
0
; δ
′
) 内有定义，A 为定数。若对任给的 ε > 0，存在正数 δ < δ
′
，使得当
x
0
< x < x
0
+ δ 时，有 |f(x) − A| < ε，则称函数 f 当 x 趋于 x
+
0
时以 A 为极限，记作
lim
x→x
+
0
f(x) = A 或 f (x) → A(x → x
+
0
)
22
类似的还有左极限 lim
x→x
−
0
f(x)，统称为单侧极限。又可记为
f(x
0
+ 0) = lim
x→x
+
0
f(x) 与 f(x
0
− 0) = lim
x→x
−
0
f(x)
同理还有
lim
x→x
0
f(x) = A ⇔ lim
x→x
+
0
f(x) = lim
x→x
−
0
f(x) = A
3.2 函数极限的性质
定理
3.2.1
唯一性
若极限
lim
x
→
x
0
f(x) 存在，则此极限是唯一的。
定理 3.2.2 局部有界性
若极限 lim
x→x
0
f(x) 存在，则 f 在 x
0
的某空心邻域 U
◦
(x
0
) 上有界。
定理 3.2.3 局部保序性
设 lim
x→x
0
f(x) 与 lim
x→x
0
g(x) 均存在。若存在正数 N
0
，使得当 n > N
0
时，有 a
n
⩽ b
n
，则 lim
n→∞
a
n
⩽
lim
n→∞
b
n
。
定理 3.2.4 夹逼定理
设 lim
x→x
0
f(x) = lim
x→x
0
g
(
x
) =
A
，且在某
U
◦
(x
0
; δ
′
) 上有
f(x) ⩽ h(x) ⩽ g(x)
则 lim
x→x
0
h(x) = A。
定理 3.2.5 四则运算法则
若 lim
x→x
0
f(x) 与 lim
x→x
0
g(x) 均存在，则
lim
x→x
0
[f(x) ± g(x)] = lim
x→x
0
f(x) + lim
x→x
0
g(x)
lim
x→x
0
[f(x)g(x)] = lim
x→x
0
f(x) · lim
x→x
0
g(x)
若 lim
x→x
0
g(x) 6= 0，则
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
=
lim
x→x
0
f(x)
lim
x→x
0
g(x)
23
3.3 函数极限存在的条件
定理 3.3.1 海涅 Heine 定理
若 f (x) 在 U
◦
(x
0
; δ
′
) 上有定义。 lim
x→x
0
f(x) 存在的充要条件是：任何含于 U
◦
(x
0
; δ
′
) 且以 x
0
为极限
的数列 {x
n
}，极限 lim
x→x
0
f(x
n
) 都存在且相等。
即若对任何 x
n
→ x
0
(n → ∞) 有 lim
n→∞
f(x
n
) = A，则 lim
x→x
0
f(x) = A。
定理 3.3.2
设 f(x) 在点 x
0
的某空心右邻域 U
◦
+
(x
0
) 有定义，则 lim
x→x
+
0
f(x) = A 的充要条件是：对任何以 x
0
为极限的递减数列 {x
n
} ⊂ U
◦
+
(x
0
)，有 lim
n→∞
f(x
n
) = A。
定理 3.3.3
设 f(x) 为定义在 U
◦
+
(x
0
) 上的单调有界函数，则右极限 lim
x→x
+
0
f(x) = A 存在。
定理 3.3.4 Cauchy 准则
设 f(x) 在 U
◦
(x
0
; δ
′
) 上有定义，则 lim
x→x
0
f(x) 存在的充要条件是：任给 ε > 0，存在正数 δ(< δ
′
)，
使得对任何 x
′
, x
′′
∈ U
◦
(x
0
, δ)，有 |f (x
′
) − f(x
′′
)| < ε。
3.4 两个重要的极限
命题 3.4.1
lim
x→0
sin x
x
= 1
证明 首先注意到它是奇函数，只需讨论 0 < x <
π
2
。考虑圆上的角度为 x 的弧的弧长和弦长，容易从几
何角度得到
0 < sin x < x
再考虑圆上的角度为 x 的弧与三角形的面积，我们可以得到
1
2
cos x <
1
2
x <
1
2
tan x
即我们得到了
cos x <
sin x
x
< 1
利用夹逼定理，我们只需证明 cos x → 1，这点可以用后面的连续性证明。也可以直接
|cos x − 1| =
2 sin
2
x
2
<
x
2
2
□
第二个是把数列极限推广到函数
24
命题 3.4.2
lim
x→∞
1 +
1
x
x
= e
3.5 无穷小量与无穷大量
定义 3.5.1 无穷小量
设函数 f 在某 U
◦
(x
0
) 上有定义，若 lim
x→x
0
f(x) = 0，则称 f 为当 x → x
0
时的无穷小量。
定义 3.5.2 有界量
设函数 f 在某 U
◦
(x
0
) 上有界，则称 f 为当 x → x
0
时的有界量。
无穷小量收敛于 0 的速度有快有慢。设当 x → x
0
时，f 与 g 均为无穷小量。
若 lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= 0 ，则称当 x → x
0
时 f 为 g 的高阶无穷小量，或称 g 为 f 的低阶无穷小量。
记作
f(x) = o(g(x))( x → x
0
)
特别地，f 为当 x → x
0
时的无穷小量记作
f(x) = o(1)(x → x
0
)
若存在正数 K 和 L，使得在某 U
◦
(x
0
) 上有
K ⩽
f(x)
g(x)
⩽ L
则称 f 与 g 为当 x → x
0
时的同阶无穷小量。特别当
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= c 6= 0
时，f 与 g 必为同阶无穷小量。
若 lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= 1 则称 f 与 g 是当 x → x
0
时的等价无穷小量。记作
f(x) ∼ g(x)(x → x
0
)
注意并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。例如 x → 0 时，x sin
1
x
和 x
2
都是无穷小
量，但它们的比都不是有界量。
定理 3.5.3
设函数 f, g, h 在 U
◦
(x
0
) 上有定义，且有 f(x) ∼ g(x)( x → x
0
)，则
1. 若 lim
x→x
0
f(x)h(x) = A，则 lim
x→x
0
g(x)h(x) = A。
2. 若 lim
x→x
0
h(x)
f(x)
= B，则 lim
x→x
0
h(x)
g(x)
= B
25
定义 3.5.4 无穷大量
设函数 f 在某 U
◦
(x
0
) 上有定义，若对任给的 G > 0，存在 δ > 0，使得当 x ∈ U
◦
(x
0
; δ) ⊂ U
◦
(x
0
)
时，有 |f(x)| > G，则称函数 f 当 x → x
0
时有非正常极限 ∞，记作 lim
x→x
0
f(x) = ∞。
3.6 常见等价无穷小
实际上这些等价无穷小就是 Talor 展开。
26
1
1 − x
=
∞
X
k=0
x
n
, (−1, 1)
= 1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6
+ O(x
7
)
ln(1 + x) =
∞
X
k=0
(−1)
k
k + 1
x
k+1
, (−1, 1]
= x −
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
x
5
5
−
x
6
6
+
x
7
7
+ O(x
8
)
sin x =
∞
X
k=0
(−1)
k
(2k + 1)!
x
2k+1
, R
= x −
x
3
6
+
x
5
120
−
x
7
5040
+
x
9
362880
+ O(x
11
)
cos x =
∞
X
k=0
(−1)
k
(2k)!
x
2k
, R
= 1 −
x
2
2
+
x
4
24
−
x
6
720
+
x
8
40320
+
x
10
3628800
+ O(x
12
)
e
x
=
∞
X
k=0
1
k!
x
k
, R
= 1 + x +
x
2
2
+
x
3
6
+
x
4
24
+
x
5
120
+
x
6
720
+
x
7
5040
+
x
8
40320
+ O(x
10
)
tan x =
∞
X
k=1
(−4)
k
(1 − 4
k
)B
2k
(2k)!
x
2k−1
, (−
π
2
,
π
2
)
= x +
x
3
3
+
2x
5
15
+
17x
7
315
+
67x
9
2835
+ O(x
11
)
√
x + 1 = 1 +
∞
X
k=1
−
1
2
k
(2k − 1)!!x
k
, (−1, +∞)
= 1 +
x
2
−
x
2
8
+
x
3
16
−
5x
4
128
+
7x
5
256
−
21x
6
1024
+ O(x
7
)
ln(x +
√
1 + x
2
) = x −
x
3
6
+
3x
5
40
−
5x
7
112
+
35x
9
1152
+ O(x
11
)
arcsin x = x +
x
3
6
+
3x
5
40
+
5x
7
112
+
35x
9
1152
+ O(x
11
)
1
2
ln
1 + x
1 − x
= x +
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
x
9
9
+ O(x
11
)
arctan x = x −
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
x
9
9
+ O(x
11
)
x
√
1 + x = ex −
ex
2
+
11ex
2
24
−
7ex
3
16
+ O(x
4
)
27
3.7 函数的连续性
定义 3.7.1 连续性
设函数 f 在某 U (x
0
) 上有定义。若
lim
x→x
0
f(x) = f (x
0
)
则称 f 在点 x
0
连续。
记 ∆x = x − x
0
，称为自变量 x 在点 x
0
的增量或改变量。设 y
0
= f (x
0
)，相应的函数 y 在点 x
0
的
增量记为
∆y = f(x) − f(x) = f (x + ∆) − f (x
0
) = y − y
0
连续性的 ε−δ 形式定义：若对任给的 ε > 0，存在 δ > 0，使得当 |x−x
0
| < δ 时，有 |f (x)−f(x
0
)| < ε，
则称函数 f 在点 x
0
连续。
或者进一步表示为
lim
x→x
0
f(x) = f
lim
x→x
0
x
定义 3.7.2
设函数 f 在某 U
+
(x
0
) 上有定义。若
lim
x→x
+
0
f(x) = f (x
0
)
则称 f 在点 x
0
右连续。同理左连续。
因此函数 f 在点 x
0
连续的充要条件是：f 在点 x
0
既是左连续，又是右连续。
定义 3.7.3 间断点
设函数 f 在某 U
◦
(x
0
) 上有定义。若 f 在点 x
0
无定义，或 f 在点 x
0
有定义而不连续，则称点 x
0
为函数 f 的间断点或不连续点。
若 lim
x→x
0
f(x) = A，而 f 在点 x
0
无定义，或有定义但 f(x
0
) 6= A，则称点 x
0
为 f 的可去间断点。
若函数 f 在点 x
0
的左、右极限都存在，但 lim
x→x
+
0
f(x) 6= lim
x→x
−
0
f(x)，则称点 x
0
为函数 f 的跳跃
间断点。
可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，所有其他形式的间断点统称为第二类间断点。
若函数 f 在区间 I 上的每一点都连续，则称 f 为 I 上的连续函数。对于闭区间或半开区间的端点，
函数在这些点上连续是指左连续或右连续。
3.7.1 连续函数的性质
定理 3.7.4 局部有界性
若函数 f 在点 x
0
连续，则 f 在某 U (x
0
) 上有界。
28
定理 3.7.5 局部保号性
若函数 f 在点 x
0
连续，且 f(x
0
) > 0，则对任何正数 r < f (x
0
)，存在某 U(x
0
)，使得对一切
x ∈ U (x
0
)，有 f(x) > r。
定理 3.7.6 四则运算
若函数 f, g 在点 x
0
连续，则 f ± g, f ·g, f /g 也都在点 x
0
连续。
定理 3.7.7
若函数 f 在点 x
0
连续，g 在点 u
0
连续，u
0
= f(x
0
)，则复合函数 g ◦ f 在 x
0
连续。
定义 3.7.8
设 f 为定义在数集 D 上的函数。若存在 x
0
∈ D，使得对一切 x ∈ D，有 f (x
0
) ≥ f (x)，则称 f 在
D 上有最大值，并称 f(x
0
) 为 f 在 D 上的最大值。
定理 3.7.9 最大、最小值定理
若函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f 在闭区间 [a, b] 上有最大值与最小值。
定理 3.7.10 介值定理
若函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f(a) 6= f (b)。若 µ 为介于 f(a) 和 f(b) 之间的任何实数。则
至少存在一点 x
0
∈ (a, b) 使得 f(x
0
) = µ。
定理 3.7.11
若函数 f 在 [a, b] 上严格单调并连续，则反函数 f
−1
在其定义域 [min{f (a), f (b)}, max{f(a), f(b)}]
上连续。
定义 3.7.12
设 f 是定义在区间 I 上的函数。若对任给的 ε > 0 存在 δ = δ(ε) > 0 使得对任何 x
′
, x
′′
∈ I，只要
|x
′
− x
′′
| < δ 就有
|f(x
′
) − f(x
′′
)| < ε
就称函数 f 在区间 I 上一致连续。
定理 3.7.13 一致连续性
若函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f 在 [a, b] 上一致连续。
29
3.7.2 初等函数的连续性
定理 3.7.14
设 p > 0，a, b 为任意两个实数，则有
p
a
· p
b
= p
a+b
, (p
a
)
b
= p
ab
定理 3.7.15
指数函数 a
x
(a > 0) 在 R 上是连续的。
30
第四章 导数理论
4.1 导数的定义
定义 4.1.1 微分
设函数 f 定义在某个邻域内 U (x
0
, r) 内，如果存在常数 A 使得
f(x) = f (x
0
) + A(x − x
0
) + o(x − x
0
)
当 x → x
0
成立，则称 f 在 x
0
处可微。线性函数 A(x − x
0
) 称为 f 在 x
0
处的微分。
我们记作 dy = df = A dx。
定义 4.1.2 导数
设函数 y = f(x) 在邻域 U(x
0
, r) 内有定义，若极限
lim
x→x
0
f(x) − f(x
0
)
x − x
0
存在，则称函数 f 在点 x
0
可导，并称该极限为函数 f 在点 x
0
的导数，记作 f
′
(x
0
)。
定理 4.1.3
若函数 f 在点 x
0
可导，则 f 在点 x
0
连续，反之不然。
显然一元函数的可微概念等价于可导。
例 4.1.4
考察
f
n
(x) = x
n
sin
1
x
, f
n
(0) = 0
当 n ⩾ 1 时，有
lim
x→0
f
n
(x) = lim
x→0
x sin
1
x
x
n−1
= 0
当 n ⩾ 2 时，有
f
′
n
(0) = lim
∆x→0
f(0 + ∆x) − f(0)
∆x
= lim
∆x→0
f
n−1
(∆x) = 0
当 n ⩾ 3 时，有
f
′
(x) = x
n−2
nx sin
1
x
− cos
1
x
31
从而 lim
x→0
f
′
(x) = 0。
因此，f
1
(x) 在 R 上连续，但在 x = 0 处不可导。f
2
(x) 连续且 f
′
2
(0) 存在，但 x = 0 处导函数不
连续。f
3
(x) 连续且导函数连续。
定义 4.1.5 单侧导数
设函数 y = f(x) 在点 x
0
的某右邻域 [x
0
, x
0
+ δ) 上有定义，若右极限
lim
∆x→0
+
∆y
∆x
= lim
∆x→0
+
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
)
∆x
, (0 < ∆x < δ)
存在，则称该极限值为 f 在点 x
0
的右导数，记作 f
′
+
(x)。同理有左导数。左导数和右导数统称为
单侧导数。
定理 4.1.6
若函数 y = f(x) 在点 x
0
的某邻域上有定义，则 f
′
(x
0
) 存在的充要条件是 f
′
−
(x) 与 f
′
+
(x) 都存在
且相等。
若函数 f 在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 f 为 I 上的可导函
数。此时对每一个 x ∈ I，都有 f 的一个导数 f
′
(x) （或单侧导数）与之对应。这样就定义了一个在 I 上
的函数，称为导函数，简称为导数。记作 f
′
, y
′
,
dy
dx
。
曲线 y = f(x) 在点 (x
0
, y
0
) 的切线方程是
y − y
0
= f
′
(x
0
)(x − x
0
)
这个极限还可以进行一定的变化，比如当 f 在 x
0
处可导时有
lim
∆x→0
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
− ∆x)
2∆x
= f
′
(x
0
)
反之不成立，比如 y = |x|。
有一些可能不太好想的反例：
lim
x→a+
f(x) = ∞ 6⇒ lim
x→a+
f
′
(x) = ∞
取
f(x) =
1
x
+ cos
1
x
, 0 < x <
π
2
如
lim
x→a+
f
′
(x) = ∞ 6⇒ lim
x→a+
f(x) = ∞
取
f(x) =
3
√
x, 0 < x < 1
如
lim
x→+∞
f(x) = A 6⇒ lim
x→+∞
f
′
(x) = B
取
f(x) =
sin(x
2
)
x
32
如
lim
x→+∞
f
′
(x) = A 6⇒ lim
x→+∞
f(x) = B
取
f(x) = cos(ln x)
这说明端点处取无穷大和函数导数在端点处取无穷大没有本质联系。
4.1.1 高阶导数
进一步的，我们可以定义导数的导数。
f
(n
1
)
(x
0
) =
f
(n)
′
(x
0
) =
d
k
f
dx
k
(x
0
)
任意阶导数都存在的函数称为光滑的。
二阶微分不具有微分不变性，比如 y = f(u), u = g(x)，有
d
2
y
dx
2
=
d
2
y
du
2
du
dx
2
+
dy
du
d
2
u
dx
2
定理 4.1.7
假如 f(x) 在 a 处二阶可导，则
f
′′
(a) = lim
h→0
f(a + h) + f(a − h) − 2f(a)
h
2
证明 注意，这里转化为一阶导数定义再导出二阶的方法是错误的。只能使用 L’Hospital 法则。 □
4.2 求导法则
定理 4.2.1
若函数 u(x) 和 v(x) 在点 x
0
可导，则函数 f(x) = u(x) ± v(x) 在点 x
0
也可导，且
f
′
(x
0
) = u
′
(x
0
) ± v
′
(x
0
)
函数 f(x) = u(x)v(x) 在点 x
0
也可导，且
f
′
(x
0
) = u
′
(x
0
)v
′
(x
0
)
若 v(x) 6= 0，则函数 f(x) =
u(x)
v(x)
在点 x
0
也可导，且
f
′
(x
0
) =
u
′
(x
0
)v(x
0
) − u(x
0
)v
′
(x
0
)
v(x
0
)
2
特别的，当 f(x) =
1
v(x)
时，有
f
′
(x
0
) = −
v
′
(x
0
)
v(x
0
)
2
33
定理 4.2.2
设 y = f(x) 严格单调且 f
′
(x
0
) 6= 0，则其反函数 x = f
−1
(x) = g( y) 在对应区间内可导且且
g
′
(y
0
) =
1
f
′
(x
0
)
定理 4.2.3
设 u = ϕ(x) 在点 x
0
可导，y = f(u) 在点 u
0
= ϕ(x
0
) 可导，则复合函数 f ◦ ϕ 在点 x
0
可导，且
(f ◦ ϕ)
′
(x
0
) = f
′
(u
0
)ϕ
′
(x
0
) = f
′
(ϕ(x
0
))ϕ
′
(x
0
)
4.2.1 基本求导法则
1. ( u ± v)
′
= u
′
± v
′
2. ( uv)
′
= u
′
v + uv
′
3.
u
v
=
u
′
v − uv
′
v
2
4. ( u ± v)
′
= u
′
± v
′
4.2.2 基本初等函数导数公式
1. ( c)
′
= 0 （c 为常数）
2. ( x
a
)
′
= ax
a−1
（a 为任意实数）
3. ( sin x)
′
= cos x, (cos x)
′
= −sin x, (tan x)
′
= sec
2
x
4. ( cot x)
′
= −csc
2
x, (sec x)
′
= sec x tan x, (csc x)
′
= −csc x cot x
5. ( arcsin x)
′
=
1
√
1 − x
2
, (arccos x)
′
= −
1
√
1 − x
2
, (arctan x)
′
=
1
1 + x
2
6. ( a
x
)
′
= a
x
ln a(a > 0且a 6= 1)
7. ( log
a
|x|)
′
=
1
x ln a
(a > 0且a 6= 1)
4.3 极值定理
若函数 f 在点 x
0
的某邻域 U(x
0
) 上对一切 x ∈ U (x
0
) 有
f(x
0
) ⩾ f (x)
则称 f 在点 x
0
取得极大值，称点 x
0
为极大值点。同理有极小值点。极大值、极小值统称为极值，极大
值点、极小值点统称为极值点。
显然极值点不一定是最值点，但假如最值点在定义域内部，则必是极值点。
定理 4.3.1 Fermat 定理
设函数 f 在点 x
0
的某邻域上有定义，且在点 x
0
可导。若点 x
0
为极值点，则必有 f
′
(x
0
) = 0。
证明 不妨设 x
0
为 f 的极小值点，则存在邻域 U (x
0
, δ) 且满足不等式 f (x) ⩽ f(x
0
)，那么
f(x) − f(x
0
)
x − x
0
⩾ 0, x ∈ (x
0
− δ, x
0
)
f(x) − f(x
0
)
x − x
0
⩽ 0, x ∈ (x
0
, x
0
+ δ)
34
从而
0 ⩽ f
′
+
(x
0
) = f
′
(x
0
) = f
′
−
(x
0
) ⩽ 0
故 f
′
(x
0
) = 0。 □
如果 f
′
(x
0
) = 0，我们称为驻点。极值点不一定是驻点，比如 y = |x|，需要导数存在，反之驻点不一
定是极值点，如 y = x
3
。
定理 4.3.2 Darboux 定理
函数
f
在
[
a, b
]
上存在导数，且
f
′
+
(a) 6= f
′
−
(b)，对于任给的介于 f
′
+
(a), f
′
−
(b) 之间的实数 k，总是
存在 ξ ∈ (a, b) 使得 f
′
(ξ) = k
证明 注意该定理并未要求导数连续，无法使用介值定理。令 g(x) = f(x)−kx。不妨设 g
′
+
(a) < 0 < g
′
−
(b)，
取 g(ξ) = min
[a,b]
g。取两个邻域
g(x) − g(a)
x − a
< 0, x ∈ U(a, δ)
g(x) − g(b)
x − b
> 0, x ∈ U(b, δ)
因此存在 a < x
1
< x
2
< b 使得 g(x
1
) < g(a) 和 g(x
2
) < g(b)。故 ξ 在开区间 (a, b) 内，因此 ξ 为 g 的极
值点，由 Fermat 定理知 g
′
(ξ) = f
′
(ξ) − k = 0。 □
4.4 曲率
给定光滑曲线 C，取固定点 M 和动点 N 得到弧长 ∆s。N 处与 M 处的切线和 x 正轴夹角差记为
∆α。以此定义 M 处的曲率为
k = lim
∆s→0
∆α
∆s
假设光滑曲线由参数方程 x(t), y(t) 给出，那么可以得到
α = arctan
y
′
(t)
x
′
(t)
,
dα
dt
=
y
′′
(t)x
′
(t) − y
′
(t)x
′′
(t)
x
′
(t)
2
+ y
′
(t)
2
利用 ds/dt =
p
x
′
(t)
2
+ y
′
(t)
2
得到
k =
da/ dt
ds dt
=
|y
′′
(t)x
′
(t) − y
′
(t)x
′′
(t)|
(x
′
(t)
2
+ y
′
(t)
2
)
3/2
特别的曲线如果由 y(x) 给出，那么
k =
|y
′′
|
(1 + y
′2
)
3/2
其中令 R = 1/k 为曲线的曲率半径。
4.5 中值定理
微分中值定理主要有三个：Rolle 定理、Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理。
35
4.5.1 Rolle 定理
定理 4.5.1 罗尔 Rolle 中值定理
若函数 f 在 [a, b] 上连续可导，且 f(a) = f(b)。则存在 ξ ∈ (a, b)，使得 f
′
(ξ) = 0。
证明 因为 f(x) 在 [a, b] 上连续，所以有最大值 M 和最小值 m。
1. 若 m = M，显然成立。
2. 若 m < M，又 f (a) = f(b)，故最值必然在 ξ ∈ (a, b) 中取到，从而 x = ξ 是其极值点，由 Fermat
定理知 f
′
(ξ) = 0。 □
我们可以做更多点的推广。假如 f(x
1
) = f (x
2
) = f (x
3
) 都相等，据此存在 ξ
1
∈ (x
1
, x
2
) 和 ξ
2
∈ (x
2
, x
3
)
使得
f
′
(ξ
1
) = f
′
(ξ
2
) = 0，再用一遍定理知存在 ξ
3
∈ (ξ
1
, ξ
2
) 使得 f
′′
(ξ
3
) = 0。
例 4.5.2
设 f 在 [a, b] 上连续并二阶可导，且 f(a) = f(b) = 0，那么对任意的 x ∈ (a, b) 存在 ξ
x
∈ (a, b) 满足
f(x) =
f
′′
(ξ
x
)
2
(x − a)(x − b)
证明 对于任意的 x，我们定义常数
λ
x
=
2f(x)
(x − a)(x − b)
构造函数
F (u) = f (u) −
λ
x
2
(u − a)(u − b)
注意到 F (a) = F (x) = F (b)，且 F
′′
(u) = f
′′
(u)−λ
x
，由上文所证性质，故存在 ξ
x
∈ (a, b) 使得 f
′′
(ξ
x
) = λ
x
。
□
例 4.5.3
设函数 f 在 [a, b] 上连续并三阶可导，如果 f (a) = f
′
(a) = f (b) = 0，那么对任意的 x 存在 ξ
x
∈ (a, b)
使得
f(x) =
f
′′′
(ξ
x
)
3!
(x − a)
2
(x − b)
证明 构造
F (u) = f (u) −
λ
x
3!
(u − a)
2
(u − b), λ
x
=
3!f(x)
(x − a)
2
(x − b)
余略。 □
4.5.2 Lagrange 定理
Rolle 定理需要两个函数等高，假如不等高我们可以旋转一下。
定理 4.5.4 Lagrange 定理
若函数 f 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 中可微，则存在 ξ ∈ (a, b)，使得
f
′
(ξ) =
f(b) − f(a)
b − a
36
证明 做辅助函数
F (x) = f (x) − f(a) −
f(b) − f(a)
b − a
(x − a)
显然 F (a) = F (b) = 0，且满足 Rolle 定理的其他两个条件，故存在 ξ ∈ (a, b) 使得
F
′
(ξ) = f
′
(ξ) −
f(b) − f(a)
b − a
= 0
移项即证。 □
一般可以直接说，存在 ξ ∈ (a, b) 使得 f (b) − f(a) = f
′
(ξ)(b − a)。考虑设
ξ = (1 − θ)a + θb = a + θ(b − a), θ ∈ (0, 1)
因此可以说存在 θ ∈ (0, 1) 使得
f(b) − f(a) = f
′
(a + θ(b − a))(b − a)
4.5.3 Cauchy 中值定理
定理 4.5.5
设 f, g 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 中可微，且 g
′
(x) 6= 0，则存在 ξ ∈ (a, b)，使得
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f
′
(ξ)
g
′
(ξ)
证明 首先注意到 g(b) 6= g(a)，否则由 Rolle 定理知存在 g
′
(x) = 0。构造
F (x) = f (x) − f(a) − λ(g(x) − g(a)) , λ =
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
注意到 F (a) = F (b) = 0，由 Rolle 定理知存在 ξ ∈ (a, b)
F
′
(ξ) = f
′
(ξ) − λg
′
(ξ) = 0
□
Cauchy 中值定理就更加的变化多端了。
4.5.4 凹凸性
定义 4.5.6
设 f 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上当任意两点 x
1
, x
2
和任意实数 λ ∈ (0, 1) 总有
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ⩽ λf (x
1
) + (1 − λ)f(x
2
)
则称 f 为 I 上的凸函数。反之，如果总有
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ⩾ λf (x
1
) + (1 − λ)f(x
2
)
则称 f 为 I 上的凹函数。
4.6 L’Hospital 法则
37
定理 4.6.1 L’Hospital 法则，0/0 型
设 f, g 是 (a, b) 上的连续可导函数，g
′
6= 0 ，且
lim
x→a
+
f(x) = lim
x→a
+
g(x) = 0
如果极限
lim
x→a
+
f
′
(x)
g
′
(x)
= A
其中 A 为实数或 ∞。则
lim
x→a
+
f(x)
g(x)
= lim
x→a
+
f
′
(x)
g
′
(x)
证明 考虑补上 x = a 处的零值，延展函数 f, g 为 F, G，从而存在 ξ
x
∈ (a, x) 使得
F (x)
G(x)
=
F (x) − F (a)
G(x) − G(a)
=
F
′
(ξ
x
)
G
′
(ξ
x
)
因此当 x → a
+
时，ξ
x
→ a
+
。故
lim
x→a
+
f(x)
g(x)
= lim
ξ
x
→a
+
f
′
(ξ
x
)
g
′
(ξ
x
)
□
定理 4.6.2 L’Hospital 法则，0/0 型
设 f, g 是 (a, b) 上的连续可导函数，g
′
6= 0 ，且
lim
x→a
+
f(x) = lim
x→a
+
g(x) = ∞
如果极限
lim
x→a
+
f
′
(x)
g
′
(x)
= A
其中
A
为实数或
∞
。则
lim
x→a
+
f(x)
g(x)
= lim
x→a
+
f
′
(x)
g
′
(x)
对于 0 · ∞，一般考虑
lim
x→a
f(x)g(x) = lim
x→a
f(x)
1
g(x)
对于 ∞ − ∞，一般考虑
lim
x→a
(f(x) − g(x)) = lim
x→a
1
f(x)
−
1
g(x)
1
f(x)g(x)
倘若 0
0
、∞
0
、1
∞
，则
lim
x→a
f(x)
g(x)
= exp
lim
x→a
g(x) ln f(x)
4.7 Taylor 公式
假设函数 f 在 x
0
处 n 阶可导，定义其在 x
0
处的 n 阶 Taylor 多项式定义为
P
n
(x; x
0
, f ) = f(x
0
) +
n
X
k=1
f
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
38
当 x
0
= 0 时，即为 Maclaurin 公式。
4.7.1 Peano 型余项
存在 δ > 0 使得对 x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) 有
f(x) = P
n
(x) + r
n
(x)
这里
r
n
(x) = o(( x − x
n
)
n
), x → x
0
我们可以通过洛 n 次证明。
4.7.2 Lagrange 型余项
由 Lagrange 中值定理，考虑在 (x
0
, x
0
+ δ)，对任意的 x 都存在 ξ
1
使得
f(x) = f (x
0
) + f
′
(ξ
1
)(x − x
0
)
大胆的推广一下，我们可以证明
f(x) = f (x
0
) + f
′
(x
0
)(x − x
0
) +
f
′′
(ξ
2
)
2
(x − x
0
)
2
一般的，我们就得到了 Lagrange 型余项。
定理 4.7.1
存在 δ > 0，设 f 在 ( x
0
, x
0
+ δ) 上连续并 n + 1 阶可导，则对任意的 x 都存在 ξ 有
f(x) = P
n
(x) + r
n
(x)
其中
r
n
(x) =
f
(n+1)
(ξ)
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
证明 固定 x，构造辅助函数
G(t) = f (x) −
n
X
k=0
f
(k)
(t)
k!
(x − t)
k
并任意的取在 (x
0
, x
0
+ δ) 上连续可导的函数 H(t)，且 H(x) = 0。存在 ξ ∈ (x
0
, x
0
+ δ) 满足
G(x
0
)
H(x
0
)
=
G(x) − G(x
0
)
H(x) − H(x
0
)
=
G
′
(ξ)
H
′
(ξ)
= −
f
(n+1)
(ξ)
n!H
′
(ξ)
(x − ξ)
n
即
G(x
0
) = −
f
(n+1)
(ξ)
n!H
′
(ξ)
(x − ξ)
n
H(x
0
)
取 H(t) = (x − t)
n+1
即证。 □
4.7.3 Cauchy 型余项
39
定理 4.7.2
存在 δ > 0，设 f 在 ( x
0
, x
0
+ δ) 上连续并 n + 1 阶可导，则对任意的 x 都存在 ξ 有
f(x) = P
n
(x) + r
n
(x)
其中
r
n
(x) =
f
(n+1)
(ξ)
n!
(x − ξ)
n
(x − x
0
)
证明 在上一个证明中取 H(t) = x − t 即可。 □
40
第五章 积分理论
5.1 不定积分
先放这，稍后做整理。
定义 5.1.1
设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义。若
F
′
(x) = f (x), x ∈ I
则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数。
定理 5.1.2
设 F
1
和 F
2
是 f 在区间 I 上的两个个原函数，则 F
1
(x) − F
2
(x) 是与 x 无关的常数。
证明 显然
G
′
(x) = [F
1
(x) − F
2
(x)]
′
= f(x) − f(x) = 0, x ∈ I
根据 Lagrange 中值定理，有
F (x) − G(x) ≡ C, x ∈ I
□
定义 5.1.3
函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上的不定积分，记作
Z
f(x) dx = F (x) + C
其中
Z
称为积分号，f(x) 为被积函数，f(x) dx 为被积表达式，x 称为积分变量。
5.1.1 基本不定积分表
以下是一些常见函数的原函数
41
Z
x
m
dx =
1
m + 1
x
m+1
+ C, m 6= 1
Z
x
−1
dx = ln |x| + C
Z
1
1 + x
2
dx = arctan x + C
Z
1
1 − x
2
dx =
1
2
ln
1 + x
1 − x
+ C
Z
1
√
1 + x
2
dx = ln(x +
√
1 + x
2
) + C
Z
1
√
1 − x
2
dx = arcsin x + C
5.2 定积分
设闭区间 [a, b] 上有 n − 1 个点，依次为
a = x
0
< x
1
< ··· < x
n−1
< x
n
= b
它们把 [a, b] 分为 n 个小区间 ∆
i
= [x
i−1
, x
i
], i = 1, ··· , n。这些分点或这些闭子区间构成对 [a, b] 的一个
分割，记为
T = {x
0
, ··· , x
n
} 或 {∆
1
, ··· , ∆
n
}
小区间 ∆
i
的长度为 ∆x
i
= x
i
− x
i−1
，并记
kT k = max
1⩽i⩽n
{∆x
i
}
称为分割的模。
定义 5.2.1
设 f 是定义在 [a, b] 上的一个函数。对于 [a, b] 的一个分割 T = {∆
1
, ··· , ∆
n
}，任取点 ξ ∈ ∆
i
, i =
1, ··· , n，并作和式
n
X
i=1
f(ξ
i
)∆x
i
称此和式为函数 f 在 [a, b] 上的一个积分和，也称黎曼和。
显然，积分既与分割 T 与有关，又与所选取的点集 {ξ
i
} 有关。
定义 5.2.2
设 f 是定义在 [a, b] 上的一个函数，J 是一个确定的实数。若对任给的正数 ϵ，总存在某一正数 δ，
使得对 [a, b] 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 {ξ
i
}，只要 kT k < δ，就有
n
X
i=1
f(ξ
i
)∆x
i
− J
< ε
则称函数 f 在区间 [a, b] 上可积或黎曼可积；数 J 称为 f 在 [a, b] 上的定积分或黎曼积分，记作
J =
Z
b
a
f(x) dx = lim
∥T ∥→0
n
X
i=1
f(ξ
i
)∆x
i
42
其中 f 称为被积函数，x 称为积分变量，[a, b] 称为积分区间，a, b 分别称为这个定积分的下限和上限。
定理 5.2.3 Newton - Leibniz 公式
若函数 f 在 [a, b] 上连续，且存在原函数 F ，即 F
′
(x) = f (x), x ∈ [a, b]，则 f 在 [a, b] 上可积，且
Z
b
a
f(x) dx = F (b) − F (a)
证明 即证对于任给的 ε > 0，存在 δ > 0 使得当 kT k < δ 时有
n
X
i=1
f(ξ
i
)∆x
i
− [F (b) − F (a)]
< ε
对于任意分割 T ，在每个小区间 [x
i−1
, x
i
] 上对 F (x) 使用 Lagrange 中值定理，则分别存在 η
i
∈ (x
i−1
, x
i
), i =
1, ··· , n，使得
F (b) − F (a) =
n
X
i=1
F
′
(η
i
)∆x
i
=
n
X
i=1
f(η
i
)∆x
i
又因为 f 在 [a, b] 上一致连续，因此存在 δ > 0 当 x
1
, x
2
∈ [a, b] 且 |x
1
− x
2
| < δ 时，有
f(x
1
) − f(x
2
)| <
ε
b − a
由 ∆x
i
⩽ kT k < δ 时，任取 ξ
i
∈ [x
i−1
, x
i
]，便有 |ξ
i
− η
i
| < δ，于是
LHS =
n
X
i=1
[f(ξ
i
) − f(η
i
)]∆x
i
⩽
ε
b − a
n
X
i=1
∆x
i
= ε
于是 f 在 [a, b] 上可积。 □
5.2.1 可积条件
定理 5.2.4
若函数 f 在 [a, b] 上可积，则 f 在 [a, b] 上必定有界。
证明 反证，若 f 在 [a, b] 上无界，则对于即对于 [a, b] 的任意分割 T ，必存在属于 T 的某区间 ∆
k
，使 f
在其上无界。在 i 6= k 的各个区间 ∆
i
上取定 ξ
i
，记
G =
X
i̸=k
f(ξ)∆x
i
任意大的正数 M，存在 ξ
k
∈ ∆
k
，使得
|f(ξ
k
)| >
M + G
∆x
k
于是有
n
X
i=1
f(ξ)∆x
i
⩾ |f(ξ
k
)∆x
k
| −
X
i̸=k
f(ξ)∆x
i
>
M + G
∆x
k
· ∆x
k
− G = M
□
有界函数不一定黎曼可积，比如 Dirichlet 函数。
43
设 T 为对 [a, b] 的任意分割。由 f 在 [a, b] 上有界，它在每个 ∆
i
上存在上、下确界：
M
i
= sup
x∈∆
i
f(x), m
i
= inf
x=∆
i
f(x), i = 1, ··· , n
作和
S(T ) =
n
X
i=1
M
i
∆x
i
, s(T ) =
n
X
i=1
m
i
∆x
i
分别称为 f 关于分割 T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）。任给 ξ
i
= ∆
i
, i = 1, ··· , n，
显然有
m(b − a) ⩽ s(T ) ⩽
n
X
i=1
f(ξ
i
)∆x
i
⩽ S(T ) ⩽ M(b − a)
与积分和相比较，达布和只与分割 T 有关，而与点集 {ξ
i
} 无关。
命题 5.2.5
给定分割 T ，对于任何点集 {ξ
i
} 而言，上和时所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界。
证明 设 ∆
i
中 M
i
是 f(x) 的上确界，故可选取点 ξ = ∆
i
，使 f(ξ
i
) > M
i
−
ε
b−a
，于是有
n
X
i=1
f(ξ
i
)∆x
i
>
n
X
i=1
M
i
∆x
i
−
ε
b − a
n
X
i=1
∆x
i
= S(T ) − ε
即 S(T ) 是全体积分和的上确界。类似可证 s( T ) 是全体积分和的下确界。 □
命题 5.2.6
设 T
′
为分割 T 添加 p 个新分点后所得到的分割，则有
定理 5.2.7
函数 f 在 [a, b] 上可积的充要条件是：人格 ε > 0，总存在相应的一个分割 T 使得
S(T ) − s(T ) <
n
X
i=1
ω
i
∆x
i
= ε
其中 ω 称为 f 在 ∆
i
上的振幅。
由充要条件，我们可以得到一系列的可积函数类。
定理 5.2.8
若 f 为 [a, b] 上的连续函数，则 f 在 [a, b] 上可积。
证明 由于 f 在闭区间 [a, b] 上一致连续，即任给 ε > 0，存在 δ > 0，对 [a, b] 中任意两点 x
1
, x
2
，只要
|x
1
− x
2
| < δ，便有
|f(x
1
) − f(x
2
)| <
ε
b − a
所以对于在 [a, b] 的分割 T 满足 kT k < δ，在 T 所属的任一小区间 ∆
i
上，都有
ω
i
= M
i
− m
i
= sup
x
1
,x
2
∈∆
i
|f(x
1
) − f(x
2
)| ⩽
ε
b − a
44
从而
X
T
ω
i
∆x
i
⩽
ε
b − a
X
T
∆x
i
= ε
□
5.3 不定积分
这部分我的参考书是《积分的方法与技巧》（金玉明等）。
5.3.1 分项积分法
若干微分式的和或差的不定积分，等于每个微分式的各自积分的和或差。
Z
(f(x) + g(x) − h(x)) dx =
Z
f(x) dx +
Z
g(x) dx −
Z
h(x) dx
因此多项式的积分可以简单的通过积分各个单项式得到。
当分母可以被拆成低次式时，可以考虑使用分项积分法。
如果一个分式的分母为多项式，则可把它化成最简单的分式再积分。如
1
x
2
− a
2
=
1
2a
1
x − a
−
1
x + a
这里可以通过通分后待定系数得到。于是其积分为
Z
dx
x
2
− a
2
=
1
2a
ln
x − a
x + a
+ C
对于更复杂的真分式的情况，若要计算的是
Z
mx + n
x
2
+ px + q
dx
分母不一定能直接分解，但总能进行配方
x
2
+ px + q =
x +
p
2
2
+ q −
p
2
4
= t
2
± a
2
再令 A = m, B = n −
1
2
mp，可得
Z
mx + n
x
2
+ px + q
dx =
Z
At + B
t
2
± a
2
d = A
Z
t dt
t
2
± a
2
+ B
Z
dt
t
2
± a
2
其中
A
Z
t dt
t
2
± a
2
=
A
2
Z
d(t
2
± a
2
)
t
2
± a
2
=
A
2
ln | t
2
± a
2
| + C
B
Z
dt
t
2
+ a
2
=
B
a
arctan
t
a
+ C
B
Z
t dt
t
2
− a
2
=
B
2a
ln
t − a
t + a
+ C
因此当 p
2
< 4q 时，可以得到
Z
mx + n
x
2
+ px + q
=
A
2
ln | t
2
+ a
2
| +
B
a
arctan
t
a
+ C
=
m
2
ln | x
2
+ px + q| +
2n − mp
p
4q − p
2
arctan
2x + p
p
4q − p
2
+ C
45
当 p
2
> 4q 时，可以得到
Z
mx + n
x
2
+ px + q
=
A
2
ln | t
2
− a
2
| +
B
2a
ln
t − a
t + a
=
m
2
ln | x
2
+ px + q| +
2n − mp
2
p
4q − p
2
ln
2x + p −
p
p
2
− 4q
2x + p +
p
p
2
− 4q
+ C
5.3.2 分部积分法
根据乘积的微分法则
d
(
uv
) =
u
d
v
+
v
d
u
显然有
Z
u dv = uv −
Z
v du
更进一步的，假设
Z
uv
(n+1)
dx =
Z
u dv
(n)
= uv
(n)
−
Z
u
′
v(n) dx
= uv
(n)
− u
(1)
v
(n−1)
+ u
(2)
v
(n−2)
+ ··· + (−1)
n
u
(n)
v + (−1)
n+1
Z
u
(n+1)
dvx
例如当 P (x) 是关于 x 的多项式时，假设计算
Z
P (x)e
ax
dx = e
ax
P
a
−
P
′
a
2
+
P
′′
a
3
+ cdots
另一个形式是
Z
P (x) sin ax dx = sin ax
P
′
a
2
−
P
(3)
a
4
+ ···
− cos ax
P
a
−
P
′′
a
3
+ ···
对于 cos ax，类似的有
Z
P (x) cos ax dx = sin ax
P
′
a
2
−
P
(3)
a
4
+ ···
+ cos ax
P
a
−
P
′′
a
3
+ ···
这种一般答案比被积函数高一阶，试一试系数就行。有时候会两种形式交错，比如
Z
e
ax
sin bx dx =
e
ax
a
2
+ b
2
(a sin bx − b cos bx) + C
5.3.3 三角换元积分法
这种题需要灵感并积累一些套路。
三角换元一般隐藏这一些直角三角形，建议草稿纸上画出来，分析的清楚一点。
三角函数及双曲三角函数 回顾一下高中知识。除了常见的 sin x, cos x, tan x，其倒数也有名字
sin x csc x = 1, cos x sec x = 1, tan x cot x = 1
常见公式 sin
2
x + cos
2
x = 1 有变形
1 + tan
2
x = sec
2
x, 1 + cot
2
x = csc
2
x
46
三角函数的和差关系
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tan(x ± y) =
tan x ± tan y
1 ∓ tan x tan y
令 t = tan
x
2
，有万能公式
sin x =
2t
1 + t
2
, cos x =
1 − t
2
1 + t
2
, tan x =
2t
1 − t
2
双曲三角函数的定义是
sinh x =
e
x
− e
−x
2
, cosh x =
e
x
+ e
−x
2
, tanh =
e
x
− e
−x
e
x
+ e
−x
有公式 sinh
2
x − cosh
2
x = 1，变形即
1 − tanh
2
x =
1
cosh
2
x
, 1 − coth
2
x =
1
sinh
2
x
类似的有反双曲三角函数，即
arcsinh x = ln(x +
√
x
2
+ 1), arccosh x = ln(x +
√
x
2
− 1), arctanh x =
1
2
ln
1 + x
1 − x
形式一 如果没有特殊形式，可以尝试齐次化（或者硬代万能公式），强行化有理式。
例如
Z
dx
a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x
尝试 tan x = t，有
dt =
dx
cos
2
x
= (1 + t
2
) dx
因此
LHS =
Z
dt
a
2
t
2
+ b
2
=
1
ab
arctan
a
b
tan x
+ C
假如计算
Z
dx
sin 2x
=
Z
t
2
+ 1
2t
dx =
1
2
ln |tan x| + C
形式二 形如
√
a
2
− x
2
的积分，设 x = a sin θ，则
dx = a cos θ dθ,
√
a
2
− x
2
= a cos θ
例如
Z
√
a
2
− x
2
dx = a
2
Z
cos
2
θ dθ =
x
2
√
a
2
− x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C
形式三 形如
√
a
2
+ x
2
的积分，设 x = a tan θ，则
dx = a sec
2
θ dθ,
√
a
2
+ x
2
= a sec θ
双元法是一类特殊的三角换元，来自虚调子
1
。其本质就是 x dx ± y dy = 0 更直观，在部分题中能够
避免被根号绕进去。
1
一小时学会双元教程！
47
5.3.4 欧拉替换法
对于二次根式
√
ax
2
+ bx + c。
形式一 令
√
a
2
x
2
+ bx + c = t − ax
两边平方可得
x =
t
2
− c
2at + b
, 2
at
2
+ bt + ca
(2at + b)
2
dt
5.4 定积分的基本性质
5.4.1 中值定理
定理 5.4.1 积分第一中值定理
设 f 在 [a, b] 上可积且连续，则存在 ξ ∈ [a, b] 使得
Z
b
a
f(x) dx = f(ξ)(b − a)
证明 设 m, M 分别是 f 在 [a, b] 上的最小值和最大值，显然存在 µ ∈ [m, M] 使得
m ⩽ µ =
1
b − a
Z
b
a
f(x) dx ⩽ M
由连续性显然存在 f(ξ) = µ。 □
定理 5.4.2 广义积分第一中值定理
假设 f, g 在 [a, b] 上可积且连续，在 [a, b] 上恒有 g ⩾ 0 或 g ⩽ 0，则存在 ξ ∈ [a, b] 使得
Z
b
a
f(x)g(x) dx = f (ξ)
Z
b
a
g(x) dx
证明 不妨令 g ⩾ 0。设 m, M 为 f 在 [a, b] 上的最小值和最大值，如果
Z
b
a
g(x) dx 6= 0
则存在 µ ∈ [m, M ] 使得
m ⩽ µ =
R
b
a
f(x)g(x) dx
R
b
a
g(x) dx
⩽ M
显然此时存在 ξ = µ。假如积分为 0，则显然有 g = 0 ，任意 ξ 都成立。 □
定理 5.4.3 积分第二中值定理
假设 f, g 在 [a, b] 上可积，且 g ⩾ 0。如果 g 单调递减，则存在 ξ ∈ [a, b] 满足
Z
b
a
f(x)g(x) dx = g(a)
Z
ξ
a
f(x) dx
48
如果 g 单调递增，则存在 η ∈ [a, b] 满足
Z
b
a
f(x)g(x) dx = g(b)
Z
b
η
f(x) dx
证明 只证第一个命题。我们给出两种证法。
（
1
）设
F
(
x
)
为
f
的原函数，首先分部积分法
Z
b
a
f(x)g(x) dx = F (b)g(b) − F (a)g(a) −
Z
b
a
F (x)g
′
(x) dx
由 Lagrange 中值定理，知存在
Z
b
a
F (x)g
′
(x) dx = F (ξ)(g(b) − g(a))
带入整理得
Z
b
a
f(x)g(x) dx = g(a)( F (ξ) − F (a)) + g(b)(F ( b) − F (ξ))
即广义积分第二中值定理。注意到取 g
1
= g 且在 x = b 处设置间断点 g(b) = 0，以上证明仍成立。
（2）用到了 Abel 变换，有点复杂。TODO □
定理 5.4.4 广义积分第二中值定理
假设 f, g 在 [a, b] 上可积，且 g 单调，则存在 ξ ∈ [a, b] 满足
Z
b
a
f(x)g(x) dx = g(a)
Z
ξ
a
f(x) dx + g( b)
Z
b
ξ
f(x) dx
证明 不妨设递增，令 g
1
= g(b) − g(x)，应用积分第二中值定理即可。 □
定理 5.4.5 Cauchy 积分不等式
如果 f, g 在 [a, b] 上可积，那么我们有
Z
b
a
f(x)g(x) dx
!
2
⩽
Z
b
a
f
2
(x) dx
!
Z
b
a
g
2
(x) dx
!
证明 对任意划分 T 有
X
f(x
i
)g(x
i
)∆x
i
2
⩽
X
f
2
(x
i
)∆x
i
X
g
2
(x
i
)∆x
i
故当 kT k → 0 时也成立。 □
定理 5.4.6 Jensen 积分不等式
如果 f 在 [a, b] 上是凸且连续的，且 φ(x) 在 R 上连续，那么我们有
f
1
c
Z
c
0
φ(t) dt
⩽
1
c
Z
c
0
f(φ(t)) dt
49
证明 对任意划分 T 有
f
1
c
X
φ(t)∆x
i
⩽
1
c
X
f(φ(t))∆x
i
故当 kT k → 0 时也成立。 □
定理 5.4.7 Hadamard 积分不等式
如果 f 在 [a, b] 上是凸且连续的，那么有
f
a + b
2
⩽
1
b − a
Z
b
a
f(t) dt ⩽
f(a) + f(b)
2
证明 （1）假如 f 可导，设
F
1
(x) =
Z
x
a
f(t) dt − (x − a)f
a + x
2
求导，由 Taylor 公式得
F
′
1
(x) = f (x) − f
a + x
2
−
x − a
2
f
′
a + x
2
=
f
′′
(ξ
1
)
2
x − a
2
2
⩾ 0
因此 F
1
(x) ⩾ 0。再构造
F
2
(x) = (x − a)(f(x) + f (a)) − 2
Z
x
a
f(t) dt
求导得
F
′
2
(x) = (x − a)f
′
(x) + f(a) − f(x), F
′′
2
(x) = (x − a)f
′′
(x) ⩾ 0
故 F
′
2
(x) ⩾ F
′
2
(a) = 0，因此 F
2
(x) ⩾ 0。
（2）前面的证明是不严谨的，因为 f 不一定可导。构造 F (λ) = f(a + λ(b − a))，注意到
F (λ
1
+ µ(λ
2
− λ
1
) = f (µ(a + λ
1
(b − a)) + (1 − µ)(a + λ
2
(b − a)))
⩽ µF (λ
1
) + (1 − µ)F (λ
2
)
故 F 是凸的。因此根据 Jensen 不等式得
f
a + b
2
= F
Z
1
0
λ dλ
⩽
Z
1
0
F (λ) dλ =
1
b − a
Z
b
a
f(t) dt
另一方面
Z
1
0
F (λ) dλ =
1
b − a
Z
b
a
f(t) dt ⩽
Z
1
0
((1 − λ)f(a) + λf(b)) dλ =
f(a) + f(b)
2
□
5.4.2 变量替换法
定理 5.4.8
假设函数 φ : [α, β] → [a, b] 连续可导，且 φ(α) = a, φ(β) = b，则对任意的 [a, b] 上的可积函数 f 有
f(φ(t))φ
′
(t) 可积，且
Z
b
a
f(x) dx =
Z
β
α
f(φ(t))φ
′
(t) dt
50
假如 φ 严格单调，则有
Z
φ(β)
φ(α)
f(x) dx =
Z
β
α
f(φ(t))φ
′
(t) dt
5.5 反常积分
定义 5.5.1
假设函数 f : [a, ∞) → R 可积。如果极限存在，则记
Z
+∞
a
f(x) dx = lim
A→+∞
Z
A
a
f(x) dx
称为 f 在 [a, +∞) 上的无穷积分或第一类反常积分。
类似的我们可以定义 (−∞, a] 上的无穷积分。考虑函数 f : (−∞, +∞) → R，若对任意的 c 下面的积
分都收敛，则记
Z
+∞
−∞
f(x) dx =
Z
c
−∞
f(x) dx +
Z
+∞
c
f(x) dx
当然，只要存在 c 使得收敛，将对全体 R 收敛。
一个常见的误区是认为
lim
A→+∞
Z
A
−A
f(x) dx
收敛，则 (−∞, +∞) 上的反常积分存在。反例是 f = sin x。
5.5.1 收敛判别法
接下来我们考察
I(f) =
Z
+∞
a
f(x) dx
的收敛性。
定理 5.5.2 有界判别法
积分
I
A
(f) =
Z
A
a
f(x) dx
有界，是 I(f) 收敛的充分必要条件。
定理 5.5.3 比较判别法
如果 0 ⩽ f (x) ⩽ g(x)。若 I(f ) 发散则 I(g) 发散。若 I(g) 收敛则 I(f ) 收敛。
对于极限形式
lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= K ⩾ 0
若 K = 0 且 I(g) 收敛则 I(f) 收敛。若 K = +∞ 且 I(g) 发散则 I(f) 发散。若 K 为正实数，则
I(f) 收敛是 I(g) 收敛的充要条件。
51
证明 非极限形式易证。对于极限形式，若 K 是正实数，则存在 a
1
使得对 x > a
1
有
K
2
g(x) ⩽ f (x) ⩽
3K
2
g(x)
成立，套用非极限形式即证。 □
定理 5.5.4 Cauchy 判别法
假定 a > 0，若
f(x) ⩽
K
x
p
, K > 0, p > 1
则 I(f) 收敛。若
f(x) ⩾
K
x
p
, K > 0, p ⩽ 1
则 I(f) 发散。
极限形式：若
lim
x→+∞
x
p
f(x) = K ⩾ 0
当 K 是非负实数且 p > 1 时收敛。当 K 是正实数或 +∞ 且 p ⩽ 1 时 I(f ) 发散。
证明 在比较判别法中取 g = x
−p
即可。 □
定理 5.5.5 Abel 判别法
假设反常积分
Z
+∞
a
f(x) dx
收敛且 g(x) 单调有界，则反常积分
Z
+∞
a
f(x)g(x) dx
收敛。
定理 5.5.6 Dirichlet 判别法
假如函数
F (A) =
Z
A
a
f(x) dx
有界且 g(x) 单调同时 g → 0 则反常积分
Z
+∞
a
f(x)g(x) dx
5.6 常见的积分
基本积分表之前已经列出，我们这里列一些组合的。
52
例 5.6.1 有理式
Z
1
(x + a)(x + b)
dx =
1
b − a
ln
x + b
x + a
+ C
Z
1
x
2
(x + a)
dx =
1
a
2
ln
1 +
a
x
−
1
ax
+ C
Z
1
x(x
2
+ a)
dx =
1
2a
ln
x
2
x
2
+ a
+ C
例 5.6.2 带 a
2
± x
2
Z
1
a
2
+ x
2
dx =
1
a
arctan
x
a
+ C
Z
1
a
2
− x
2
d
x
=
1
a
arctanh
x
a
+
C
=
1
2a
ln
a + x
a − x
+
C
Z
1
√
a
2
− x
2
dx = arcsin
x
a
+ C
Z
1
√
a
2
+ x
2
dx = arcsinh
x
a
+ C = ln
√
a
2
+ x
2
+ x
2
+ C
Z
x
√
a
2
± x
2
dx = ±
√
a
2
± x
2
+ C
Z
1
(a
2
± x
2
)
3
2
dx =
x
a
2
√
x
2
± a
2
+ C
Z
x
(a
2
± x
2
)
3
2
dx = ∓
x
a
2
√
x
2
± a
2
+ C
Z
√
a
2
+ x
2
dx =
x
2
√
a
2
+ x
2
+
a
2
2
Z
dx
√
a
2
− x
2
Z
1
(a
2
+ x
2
)
n
dx =
x
2(n − 1)a
2
(x
2
+ a
2
)
n−1
+
2n − 3
2(n − 1)a
2
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
n
例 5.6.3 根式
Z
x
√
x + a dx =
2
15
(3x − 2a)(x + a)
3
2
+ C
Z
x
√
x + a
dx =
2
3
(x − 2a)
√
x + a + C
Z
1
x
√
x + a
dx = −
1
√
a
ln
√
a + x +
√
a
√
a + x −
√
a
+ C, a > 0
Z
1
x
√
x − a
dx =
2
√
a
arctan
r
x
a
− 1, a > 0
Z
r
a + x
a − x
dx = arcsin
x
a
−
√
a
2
− x
2
+ C, a > 0
Z
r
a − x
a + x
dx = arcsin
x
a
+
√
a
2
+ x
2
+ C, a > 0
Z
√
x + a
x
dx = 2
√
x + a + a
Z
dx
x
√
x + a
53
第六章 级数理论
6.1 数项级数的敛散性
给定一个无穷数列 {a
n
}，称形式和
∞
X
i=1
a
i
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ ···
为无穷级数，其中 a
i
记作通项或一般项。对于前 n 项和，我们称 S
n
为第 n 个部分和。
若 lim
n→∞
S
n
= S 存在且有限，则称级数级数
P
a
i
收敛，否则就称级数发散。显然若级数
P
a
i
收敛，
则通项
a
n
= S
n
− S
n−1
→ S − S = 0 (n → ∞)
定理 6.1.1 Cauchy 准则
给定级数
P
a
i
，存在 N = N(ε) 使得当 n > N 时有
|S
n+p
− S
n
| = |a
n+p
+ ··· + a
n+1
| < ε
显然级数的有限项不影响级数的敛散性，以下讨论均舍弃。
6.2 正项级数的敛散性
若级数各项的符号都相同，则称为同号级数；进一步的，若皆为正号，则称为正项级数。由于 0 并不
影响收敛性，故以下讨论的正项级数可含 0。
定理 6.2.1 基本判别法
正项级数
P
a
i
收敛的充要条件是：部分和数列 {S
n
} 有界。
定理 6.2.2 比较原则
设正项级数
P
a
i
,
P
b
i
，若存在正数 N，使得
a
i
⩽ b
i
, ∀ n ⩾ N
那么
（1）若级数
P
b
i
收敛，则级数
P
a
i
收敛。
（2）若级数
P
a
i
发散，则级数
P
b
i
发散。
54
证明 设其部分和分别为 A
i
, B
i
。不妨假设 N = 1，即对数列的每项都成立。
（1）显然有
A
i
⩽ B
i
⩽ B
即
A
i
为单调有界数列，故必有极限
A
，因此级数
P
a
i
收敛。
（2）其为（1）的逆否命题，也成立。 □
因此我们可以通过比较、放缩等手段，将待判级数和已知敛散性的级数进行比较。
一个重要的已知级数是等比级数，我们有三种判断手段。
定理 6.2.3 比式判别法
设
P
a
i
是正项级数，却存在某正数 N 和 q(0 < q < 1) 使得
a
n+1
/a
n
⩽ q, ∀n ⩾ N
则级数
P
a
i
收敛；若
a
n+1
/a
n
⩾ 1, ∀n ⩾ N
则级数
P
a
i
发散。
（极限形式）且
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= q
则当 q < 1 时，级数收敛；q > 1 时，级数发散。
证明 （1）不妨设 N = 1，则有 a
n
⩽ q
n−1
a
1
。而等比级数显然是收敛的，故收敛。
（2）显然当 n > N
0
时 a
n
⩾ n
0
> 0，其每项的极限不趋于 0，故发散。
（极限形式）由极限知，我们取 ε =
|1−q|
2
，存在正数 N 使得当 n > N 时有
q − ε <
a
n+1
a
n
< q + ε
当 q < 1 时，显然 q + ε =
1+q
2
< 1，由比式判别法知收敛。
当 q > 1 时，q − ε =
1+q
2
> 1，由比式判别法知发散。 □
定理 6.2.4 Cauchy 判别法（根式判别法）
设
P
a
i
是正项级数，且存在正数 N 和正常数 q 使得
n
√
a
n
⩽ q < 1, ∀n > N
则级数收敛；若
n
√
a
n
⩾ 1, ∀n > N
则级数发散。
证明 （1）不妨设 N = 1，显然 a
n
⩽ q
n
，由等比级数收敛知原级数也收敛。
（2）显然 a
n
⩾ 1
n
= 1 ，故发散。 □
定理 6.2.5 积分判别法
设 f 是 [1, ∞) 上的减函数，则级数
P
f(i) 收敛的充分必要条件是反常积分
R
+∞
1
f(x) dx 收敛。
55
证明 假设级数收敛于 S，由收敛的性质知， lim
n→∞
f(n) = 0，故 f 非负。进而对任意正整数 N 有
Z
N
1
f(x) dx =
N
X
n=2
Z
n
n−1
f(x) dx ⩽
N−1
X
n=1
f(n) ⩽
∞
X
n=1
f(n) = S
考虑对 M ∈ (N, N + 1]，都有
0 ⩽
Z
M
1
f(x) dx ⩽
Z
N+1
1
f(x) dx ⩽ S
因此该反常积分收敛。
反之，设反常积分。。。不想证了 TODO □
定理 6.2.6 Kummer
设
P
a
i
,
P
b
i
为正项级数，若 n 充分大时有
1
b
n
·
a
n
a
n+1
−
1
b
n+1
⩾ λ > 0
则
P
a
n
收敛；若
1
b
n
·
a
n
a
n+1
−
1
b
n+1
⩽ 0
且
P
b
n
发散，则
P
a
n
发散。
证明 （1）条件即
a
n+1
⩽
1
λ
a
n
b
n
−
a
n+1
b
n+1
设 S
n
是 a
n
的和函数，有
S
n+1
⩽ S
N
+
1
λ
a
N
b
N
−
a
n+1
b
n+1
⩽ S
N
+
1
λ
a
N
b
N
从而 S
N
有上界，故收敛。
（2）可知
1
b
n
·
a
n
a
n+1
−
1
b
n+1
⩽ 0 =⇒
a
1
b
1
⩽ ··· ⩽
a
n
b
n
⩽
a
n+1
b
n+1
故 a
n
⩾
a
1
b
1
b
n
，由
P
b
n
知
P
a
n
也发散。 □
当 b
n
= 1 时即得比值判别法；取 b
n
=
1
n
就是 Raabe 判别法；取 b
n
=
1
n ln n
，则得 Gauss 判别法。
定理 6.2.7 Cauchy 凝聚判别法
设 a
n
单调递减趋于 0。则
P
a
n
收敛当且仅当
P
2
k
a
2
k
收敛。
6.2.1 常见级数的收敛性
定理 6.2.8
级数
P
1
n
p
在 p > 1 时收敛，p ⩽ 1 时发散。
证明 定义函数 f(x) =
1
n
p
，由于 f 当 p > 0 时在 [1, ∞) 上单调递减，则由积分判别法知
Z
+∞
1
f(x) dx =
Z
+∞
1
1
x
p
dx
56
因此 p > 1 时收敛，p ⩽ 1 时发散。 □
6.3 一般项级数收敛判别法
若级数
P
a
n
各项绝对值组成的级数
P
|a
n
| 收敛，那么称原级数绝对收敛；若原级数收敛，绝对值级
数不收敛，则称为条件收敛。
更神秘的判别法，比如 Abel 判别法、Dirichlet 判别法感觉不太用得到，跳过。
6.3.1 交错级数
在 Taylor 公式中，我们经常得到正负项交替出现的级数，我们称为交错级数。
定理 6.3.1 Leibniz 判别法
若 a
n
单调递减趋于 0，则级数
P
(−1)
n−1
a
n
收敛。
证明 懒得证了，TODO。大致思想是注意到 S
2m−1
和 S
2m
分别是单减和单增的，从而 [S
2m−1
, S
2m
] 是
退缩区间套。 □
6.4 函数项级数的一致收敛
设 f
1
, f
2
, ··· 是 E 上的函数列，记为 {f
i
}。若带入 x = x
0
使得函数列的值收敛，则称函数列在点 x
0
收敛，x
0
称为函数列的收敛点；反之若发散，则称发散点。
若函数列在 D ⊂ E 上每一点都收敛，则称其在数集 D 上收敛。此时对函数上每一点 x，都有一个极
限值与之对应，称为函数列的极限函数。记为
lim
n→∞
f
n
(x) = f (x)
函数列的全体收敛点集，称为收敛域。
用 ε − N 语言表示即：对任意固定的 x ∈ D，任给 ε 恒存在 N(ε, x) 使得当 n > N 时有
|f
n
(x) − f(x)| < ε
则称 lim
n→∞
f
n
(x) = f (x)。
对于函数列，我们不仅要讨论其收敛域，还需要更多的性质，比如连续性、导数、积分是否在极限下
不变。
定义 6.4.1
若对于函数列 {f
n
} 对任给的正数 ε 总存在某一正整数 N(ε) 使得当 n > N 时对一切 x ∈ D 都有
|f
n
(x) − f(x)| < ε
则称函数列一致收敛于 f，记作
f
n
(x) ⇒ f (x)(n → ∞)
一致收敛是比收敛更强的性质。反之，存在 ε 使得对任何 N 都有 x(N ) 和 n(N ) > N 使得
|f
n
(x) − f(x)| ⩾ ε
57
则称其不一致收敛。
定理 6.4.2 函数列一致收敛 Cauthy 准则
给定函数列 {f
n
} 在 D 上一致收敛的充要条件是：对任给 ε > 0 都存在正数 N 使得 n, m > N 时，
对一切 x ∈ D 都有
|f
n
(x) − f
m
(x)| < ε
证明 先证必要性，已知 f
n
(x) ⇒ f (x)，显然我们可以取
ε
2
使得
|f
n
(x) − f
m
(x)| ⩽ |f
n
(x) − f(x)| + |f
m
(x) − f(x)| <
ε
2
+
ε
2
= ε
再证必要性，考察每个点由 Cauthy 定理知其收敛，故一致收敛。 □
定义 6.4.3
若函数列 {f
n
} 定义在区间 I 上，若对任意闭区间 [a, b] ⊂ I，函数列在 [a, b] 上一致收敛于 f，则
称 {f
n
} 在函数列上一致收敛。
对于函数列，我们也可以定义函数项级数，和其部分和数列。
6.5 幂级数初步
接下来主要讨论幂函数序列 {a
n
(x − x
0
)
n
} 所产生的函数项级数
∞
X
n=0
= a
0
+ a
1
(x − x
0
) + a
2
(x − x
0
)
2
+ ···
记作幂级数，接下来主要讨论 x
0
= 0 。
定理 6.5.1
若幂级数
P
f
i
x
i
在 x = x
1
6= 0 处收敛，则对任何 |x| < |x
1
| 幂级数都绝对收敛；若幂级数在 x = x
1
处发散，则对任何 |x| > |x
1
| 幂级数都发散。
证明 设
P
f
i
x
i
1
收敛，则 {f
i
x
i
1
} 收敛于 0 且有界，那么对任意 |x| < |x
1
| 其仍收敛于 0 且有界，且每一
项都严格小于 {f
i
x
i
1
}，因此绝对收敛。
那么若 x
1
处发散，假如存在 |x
2
| > |x
1
| 使得收敛，则由前证矛盾，故收敛。 □
因此幂级数的收敛域是关于原点对称的区间，我们记区间长度为 2R，那么收敛半径为 R。对于 x = ±R
处，级数可能收敛，也可能不收敛。
定理 6.5.2
对于幂级数
P
f
i
x
i
若
lim
n→∞
n
p
|a
n
| = ρ
• 若 ρ = 0 时，幂级数的收敛半径是 R = +∞。
• 若 ρ > 0 时，幂级数的收敛半径是 R =
1
ρ
。
• 若 ρ = ∞ 时，幂级数的收敛半径是 R = 0。
58
6.6 求和函数的一些方法
求和函数主要以配凑为主，需要一定的积累。
6.6.1 多项式系数
首先观察公式
1
1 − x
=
∞
X
n=0
x
n
1
(1 − x)
2
=
∞
X
n=0
(n + 1)x
n
2
(1 − x)
2
=
∞
X
n=0
(n + 1)(n + 2)x
n
推广有
1
(1 − x)
k
=
∞
X
n=0
n + k − 1
k − 1
x
n
因此把系数配凑为类似下降阶乘的形式即可。
6.6.2 存在分母
主要从以下函数寻找灵感。
−ln(1 − x) =
∞
X
n=1
x
n
n
arctan x =
∞
X
n=0
(−1)
n
x
2n+1
2n + 1
1
2
ln
1 + x
1 − x
=
∞
X
n=0
x
2n+1
2n + 1
6.7 Fourier 级数
函数列
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ···
称为三角函数系，若这一列的函数记为 {φ
i
(x)} 则
Z
π
−π
φ
i
(x)φ
j
(x) dx = 0, ∀i 6= j
这个性质称为三角函数系的正交性。有限和
a
0
+
n
X
k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx)
称为三角多项式，而形式和
a
0
+
∞
X
k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx)
称为三角级数，其中 a
0
, a
k
, b
k
称为三角函数的系数。
59
定义 6.7.1
假设 f 是一个周期为 2π 的 Riemann 可积函数，令
a
k
=
1
π
Z
π
−π
f(x) cos kx dx, b
k
=
1
π
Z
π
−π
f(x) sin kx dx
其中 a
0
, a
k
, b
k
称为 f 的 Fourier 级数，形式和
a
0
2
+
∞
X
k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx)
称为 f 的 Fourier 级数或者 Fourier 展开。
比如
x =
∞
X
k=1
2
k
(−1)
k+1
sin kx, −π ⩽ x ⩽ π
x
2
=
π
2
3
+
∞
X
k=1
4
k
2
(−1)
k
cos kx, −π ⩽ x ⩽ π
一般的，对于周期为 [−l, l] 的函数 f(x)，则其 Fourier 级数展开式为
f(x) =
a
0
2
+
∞
X
n=1
a
n
cos
nπx
l
+ b
n
sin
nπx
l
其中
a
n
=
1
l
Z
l
−l
f(x) cos
nπx
l
dx, b
n
=
1
l
Z
l
−l
f(x) sin
nπx
l
dx
60
第七章 常微分方程
如果知道函数及其导数、微分组成的关系式，得到的便是微分方程。
7.1 基本概念
自变量只有一个的方程是常微分方程，两个以上则称偏微分方程，其中未知函数最高阶导数的阶数称
为微分方程的阶数。一般的 n 阶常微分方程具有形式
F
x, y,
dy
dx
, ··· ,
d
n
y
dx
n
= 0
如方程的左端为 y 及各阶导数的一次有理整式，则称为 n 阶线性微分方程，否则称为非线性微分方程。一
般的 n 阶线性微分方程有形式
d
n
y
dx
n
+ a
n−1
(x)
d
n−1
y
dx
n−1
+ ··· + a
1
(x)
dy
dx
+ a
0
(x)y = f(x)
这里 a
i
(x), f(x) 是关于 x 的已知函数。
如果函数 y = φ(x) 带入方程后，能使其变为恒等式，则称函数 y = φ(x) 为方程的解。如果隐函数
Φ(x, y) = 0 是其解，则称隐式解，也可以不加区分的称为解。
含有 n 个独立的任意常数 C
1
, ··· , C
n
的解
y = φ(x, C
1
, ··· , C
n
)
称为 n 阶方程的通解，其中独立性指 φ 及各阶偏导数关于 n 个常数 C
1
, ··· , C
n
的 Jacobi 行列式不为 0。
为了确定微分方程的一个特解，需要给出定解条件。常见的定解条件是初值条件和边值条件，其中初值条
件指：当 x = x
0
时，有
y = y
0
, y
′
= y
(1)
0
, ··· , y
(n−1)
= y
(n−1)
0
满足初值条件的解称为微分方程的特解。
7.2 变量分离微分方程
形如
dy
dx
= f(x)g(y)
的方程，称为变量分离方程，假如 g(y) 6= 0 我们可以很容易的分离它
d
y
g(y)
= f(x) dx
两边同时积分即可。另外，不要忘记当 g(y) = 0 时也有解 y = y
0
。
61
有两种常见的变式：
（1）形如
dy
dx
= g
y
x
的方程，记作齐次微分方程。做变量代换 u =
y
x
，有
du
dx
=
1
x
dy
dx
−
y
x
=
g(u) − u
x
就变成变量分离的了。
（2）形如
dy
dx
= g
a
1
x + b
1
y + c
1
a
2
x + b
2
y + c
2
分为三种情况讨论：
1. 如果
a
1
a
2
=
b
1
b
2
=
c
1
c
2
= k
则比较显然。
2. 如果
a
1
a
2
=
b
1
b
2
= k 6=
c
1
c
2
令 u = a
2
x + b
2
y，此时有
du
dx
=
g
a
2
+
b
2
ku + c
1
u + c
2
是变量分离方程。
3. 对于剩余的情况，把分子分母看成两条不相交的直线，尝试平移到原点。设交点为 (x, y) = (x
0
, y
0
)，
有
dy
dx
=
d(y − y
0
)
d(x − x
0
)
= g
a
1
(x − x
0
) + b
1
(y − y
0
)
a
2
(x − x
0
) + b
2
(y − y
0
)
也变成了齐次形式。
7.3 一阶线性微分方程
一阶线性常微分方程的一般形式是
dy
dx
= p(x)y + q(x)
其中 p(x), q(x) 在给定区间上连续的函数。当 q(x) = 0 时，称为一阶线性齐次常微分方程；否则称一阶线
性非齐次常微分方程。
以下用大写字母简记为积分，方便记忆。
一阶线性其次常微分方程 即
dy
dx
= p(x)y
那么我们可以分离变量
dy
y
= p(x) dx
两边积分得到
ln | y| =
Z
x
x
0
p(t) dt + C
1
62
其中 C
1
是任意常数；若引入任意非零常数 C
2
= ±e
C
1
，就得到
y(x) = C
2
e
∫
x
x
0
p(t)dt
= C
2
e
P (x)
显然 y = 0 也是一解，故 C
2
是可以取任意常数的。
这样对于给定初值的问题
dy
dx
= p(x)y, y(x
0
) = y
0
的通解为
y(x) = y
0
e
∫
x
x
0
p(t)dt
= y
0
e
P (x)
除此之外，我们有以下性质：
• 方程的解要么恒为零，要么恒不为零。
• 方程任何有限个解的线性组合仍是解，所有解构成一个一维线性空间。
一阶线性非齐次常微分方程 一阶线性非齐次常微分方程为
dy
dx
= p(x)y + q(x)
考虑套用之前的公式，设
u(x) = ye
−
∫
x
x
0
p(t)dt
= ye
−P (x)
注意到
du
dx
· e
∫
x
x
0
p(t)dt
= y
′
− p(x)y = q(x)
可以得到 y(x) 的解
y(x) = e
∫
x
x
0
p(t)dt
Z
e
−
∫
p(s)ds
q(s) ds + C
= e
P (x)
Z
e
−P (x)
q(x) + C
可以发现一个有趣的性质，非齐次方程的解可以由齐次形式下的解的“常数变易”得到。因此先考虑
解齐次形式，再变易常数为函数 c(x)，这种解法记作常数变易法。
7.3.1 各种变形
Bernoulli 微分方程 形如
dy
dx
= p(x)y + q(x)y
n
, n 6= 0, 1
的方程称为 Bernoulli 微分方程。设 y 6= 0，得到
y
−n
dy
dx
=
d(y
1−n
)
(1 − n) dx
= y
1−n
p(x) + q(x)
换元 u = y
1−n
即可。
Riccati 方程 形如
dy
dx
+ p(x)y + q(x)y
2
= r(x)
的方程称为 Riccati 微分方程。设 ϕ(x) 是其一个特解，令 u = y − ϕ，得到
du
dx
+ (p + 2ϕq)u + qu
2
= 0
即是一个 Bernoulli 方程。
63
Euler 方程 形如
x
2
d
2
y
dx
2
+ px
dy
dx
+ q = r(x)
当 x > 0 时，令 x = e
u
，则
dy
dx
=
dy
x du
,
d
2
y
dx
2
=
1
x
2
d
2
y
du
2
−
dy
du
因此方程化为
d
2
y
du
2
+ (p − 1)
dy
du
+ qy = r(e
u
)
7.3.2 可降阶的二阶微分方程
不含 y 若微分方程不含 y，即方程可表示为
y
′′
= f(x, y
′
)
则可以构造 y
′
= p，从而变成一阶的微分方程。
不含 x 即方程可以表示为
y
′′
= f(y, y
′
)
则可以令 p = y
′
，得到 y
′′
=
pdp
dy
，则原方程变为一阶方程。
7.4 恰当微分方程
有时可以考虑答案是全微分的形式。设
f(x, y) dx + g( x, y) dy = 0
并假设 f, g 连续。设其左端恰好是某个二元函数 u(x, y) 的全微分
f(x, y) dx + g(x, y) dy = du(x, y) =
∂u
∂x
dx +
∂u
∂y
dy
则称其为恰当微分方程。容易验证其通解为 u(x, y) = C。
注意到
∂f
∂y
=
∂
2
u
∂y ∂x
=
∂
2
u
∂x ∂y
=
∂g
∂x
故其是该方程为恰当微分方程的充要条件。
再考虑如何求出 u，先以 y 为参数
u =
Z
f(x, y) dx + φ(y)
回带得到
∂u
∂y
= g(x, y) =
dφ(y)
dy
+
∂
∂y
Z
f(x, y) dx
总之有解
u =
Z
f(x, y) dx +
Z
g(x, y) −
∂
∂y
Z
f(x, y) dx
dy
这个形式过于复杂，一般情况下多瞪眼可能更快。下面是一些常见的表
64
y dx + x dy = dxy
y dx − x dy
y
2
= d
x
y
y dx − x dy
xy
= d ln
x
y
y dx − x dy
x
2
+ y
2
= d arctan
x
y
y dx − x dy
x
2
− y
2
= d ln
x − y
x + y
假如一个方程乘以 µ(x, y) 就成为了恰当微分方程，则称 µ 是原方程的积分因子。假若方程有解存在，
则必有积分因子存在，而且不是唯一的。因此之前的很多方法都可以改写成积分因子法，但从零瞪出一个
因子非常有技巧性，实战中不实用。
7.5 齐次线性微分方程
一般的 n 阶线性微分方程有形式
d
n
y
dx
n
+ a
n−1
(x)
d
n−1
y
dx
n−1
+ ··· + a
1
(x)
dy
dx
+ a
0
(x)y = f(x)
倘若 f(x) ≡ 0 则是齐次线性微分方程，否则为非齐次。对其分析过程比较复杂，这里直接给出结论：
方程的线性无关解最大个数为 n，所有解构成一个 n 维线性空间。其非齐次的通解可以将各个系数用常数
变易法待定，计算即可。
注意到
e
ix
= cos x + i sin x
反推得到
sin x =
e
ix
− e
−ix
2i
, cos x =
e
ix
+ e
−ix
2
因此我们在计算时完全可以将指数和三角统一起来，叙述过程时再改成三角。
7.5.1 常系数
设所有系数都是常数，即方程为
L[y] ≡
d
n
y
dx
n
+ a
n−1
d
n−1
y
dx
n−1
+ ··· + a
1
dy
dx
+ a
0
y = 0
考虑代入
L[e
λx
] = (λ
n
+ a
n−1
λ
n−1
+ ··· + a
0
)e
λx
= F (λ) e
λx
其中方程 F (λ) 是关于 λ 的 n 次多项式，我们求解 F (λ) = 0 即可，因此又称为特征方程，其根称为特征
根。假如所有的根都不是重根，那么可以直接得到 n 个线性无关的解 y
i
= e
λ
i
x
。
假若方程存在 k 重根 µ，即特征方程存在因子 (λ − µ)
k
，考虑平移代换 z = ye
µx
，继续代入 y = e
λx
有
L[ye
µx
] = L[e
(λ+µ)x
] = F (λ + µ)e
(λ+µ)x
显然 F (λ + µ) 含有 k 重零根，对比系数可以得到方程 L[y] = 0 的 0 ∼ k − 1 项系数为 0，即方程形如
L[z] =
d
n
y
dx
n
+ b
n−1
d
n−1
y
dx
n−1
+ ··· + b
k
d
k
y
dx
k
= 0
65
可以观察出其 k 个线性无关的解 y = 1, x, x
2
, ··· , x
k−1
，故原方程的 k 个解为
z = e
µx
, xe
µx
, ··· , x
k−1
e
µx
7.5.2 常见二阶微分方程
常见的二阶常系数微分方程的一般形式是
y
′′
+ py
′
+ qy = f(x)
首先求其对应的齐次微分方程的通解。
令 ∆ = p
2
− 4q > 0，设其两个实根为 r
1
, r
2
，可得通解
y = C
1
e
r
1
x
+ C
2
e
r
2
x
若 ∆ = 0，存在重根 r
1
，则通解为
y = (C
1
+ C
2
x)e
rx
若 ∆ < 0，存在一对共轭虚根 α ± βi，则通解为
y = e
ax
(C
1
cos βx + C
2
sin βx)
当自由项
f(x) = P
n
(x)e
ax
时，特解要设为
y
∗
= x
k
e
ax
Q
n
(x)
其中 k 为特征方程的根和 a 的重合次数（这个规则很神秘，可以从微分算子法的角度记忆），P
n
(x), Q
n
(x)
为关于 x 的度 n 多项式。
当自由项为
f(x) = e
ax
(P
n
(x) sin bx)
时，特解要设为
y
∗
= x
k
e
ax
(Q
n
(x) cos bx + R
n
(x) sin bx)
其中 k 为特征方程的根和 a ±bi 是否重合（重合一定重俩），P
n
(x), Q
n
(x), R
n
(x) 为关于 x 的度 n 多项式。
7.6 Gronwall 定理
考虑区间 [a, b] 上的微分不等式
y
′
(x) + p(x)y(x) ⩽ f(x)
令 P (x) 为 p(x) 的原函数，类似于普通微分方程的解法，有
d
dx
y(x)e
P (x)
= (y
′
(x) + p(x)y)e
P (x)
⩽ f(x)e
P (x)
选取 u ∈ [a, b]，在 [ a, u] 上积分得到
y(u)e
P (u)
− y(a) ⩽
Z
u
a
f(s)e
P (s)
ds = e
P (u)
Z
u
a
f(s)e
P (s)−P (u)
ds
66
从而得到
y(x) ⩽ y(a)e
−P (u)
+
Z
u
a
f(s)e
P (s)−P (u)
ds
特殊的，令 f ≡ 0，有
y(x) ⩽ y(a)e
−P (x)
如果 y
1
, y
2
满足如下微分不等式
y
′
1
+ p(x)y
1
⩽ y
′
2
+ p(x)y
2
, y
1
(a) = y
2
(a)
则一定 y
1
≡ y
2
。
67
第八章 多变量理论
8.1 多变量极限
我们回忆一下 n 维 Euclidean 空间
R
n
= {x = (x
1
, ··· , x
n
) | x
i
∈ R}
其中的元素我们记为 n 维向量（vector）。在其上我们定义向量内积的概念
x · y = hx, yi =
n
X
i=1
x
i
y
i
向量内积具有线性性。并满足 Schwarz 不等式：
(x · y)
2
⩽ (x · x)(y · y)
我们定义一个向量的范数（norm）为
|x| =
√
x · x =
v
u
u
t
n
X
i=1
|x
i
|
2
从而有三角不等式
|x + y|+ ⩽ |x| + |y|
事实上还存在一些其他范数，比如 p - 范数
|x|
p
=
p
v
u
u
t
n
X
i=1
|x
i
|
p
和 ∞ - 范数
|x|
∞
=
n
max
i=1
|x
i
|
可以进一步的定义向量的夹角
θ
x,y
= arccos
x · y
|x||y|
和距离
d(x, y) = |x − y|
从而构建出度量空间。
我们可以定义球邻域
B
n
(x, r) = {y | |y − x| < r}
68
和方邻域
O
n
(a, r) = {x | |x
i
− a
i
| < r, 1 ⩽ i ⩽ n}
由于
B
n
(a, r) ⊂ O
n
(a, r) ⊂ B
n
(a, r
√
n)
我们可以不加区分的统称为邻域，记作 U(a, r)。
定义 8.1.1
设 {x
i
} 是 R
n
中的点列。如果存在 M > 0 使得 x
i
∈ B
n
(0, M)，则称其为有界的。如果对任意
ε > 0 都存在正整数 I 使得当 i > I 时满足
|i − x| < ε
成立，即 x ∈ B
n
(x, ε)，则记
lim
i→∞
x
i
= x
假如不收敛到任何点，则称其为发散的。
考虑到考研对多元部分的考察并不深入，将实数上的连续性搬到多元空间上是自然的，可以信赖直觉。
定义 8.1.2
设 D ⊂ R
n
，且 a ∈ D
′
是 D 的聚点，如果对任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得当 x ∈ U
◦
(a, δ) ∩ D 有
|f(x) − A| < ε
成立，则称 f(x) 在 D 上当 x → a 时以 A 为极限，或者称为 n 重极限，记作
lim
x→a
f(x) = A
实数上极限的唯一性、有界性等性质也可以搬过来。但是有一些复杂的情况，比如
lim
(x,y)→0
y
x
我们沿着 y = kx 趋于 0，得到是 k 不是定值，说明极限不存在。
定义 8.1.3
设 D = D
1
× D
2
⊂ R，x
0
, y
0
分别是 D
1
, D
2
的聚点。如果对每个固定的 y ∈ D
2
且 y 6= y
0
作为 x
的一元函数，极限
lim
x→x
0
f(x, y)
存在且极限
lim
y→y
0
lim
x→x
0
f(x, y)
也存在，则称后者为 f 在 (x
0
, y
0
) 点先对 x 后对 y 的累次极限。
69
8.2 多变量导数
回顾一下一元函数 f(x) 在 a 处的微分
f(a + ∆x) − f(a) = f
′
(a)∆x + o(|∆x|)
根据无穷小的定义得到
lim
∆x→0
f(a + ∆x) − f(a) − f
′
(a)∆x
|∆x|
= 0
定义 8.2.1
设 n 元函数 f(x) 在 a 的邻域内有定义，若存在 n 维向量 b 使得
lim
∆x→0
f(a + ∆x) − f(a) − b · ∆x
|∆x|
= 0
成立，即
f(a + ∆x) − f(a) = b · ∆x + o(|∆x| )
则称 f 在 a 处可微或可导，向量 b 为函数 f 在 a 处的导数，记为
b = f
′
(a) = ∇f (a)
并记微分（全微分）为 df = b · dx。
假如考虑对于固定点 a，考虑在 x
i
方向上的极限
lim
∆x
i
→0
f(a
1
, ··· , a
i
+ ∆x
i
, ··· , a
n
) − f(a)
∆x
i
若极限存在，则称 f 在 a 关于 x
i
可偏导，记极限为 f 在 a 处关于 x
i
的偏导数并记为
∂f
∂x
i
(a) = f
x
i
(a)
注意，偏导数存在不意味着可微。比如
f(x, y) =
xy
x
2
+ y
2
, f (0) = 0
此时 f
x
(0) = f
y
(0) = 0，但并不连续。
定理 8.2.2
如果函数 f 在 a 处可微，则在 a 处必存在偏导数且满足
f
′
(a) = (f
x
1
(a), ··· , f
x
n
(a))
和
df(a) = f
′
(a) dx =
n
X
i=1
f
x
i
dx
i
证明 由可微知存在 b 使得
f(a + ∆x) − f(a) = b · ∆x + o(|∆x| )
此时我们可以取仅 x
i
方向有值的无穷小，便可导出偏导。 □
70
定理 8.2.3
如果 f 在 a 的某个邻域存在偏导数，且偏导数在 a 点连续，则 f 在 a 处可微。
考虑一单位向量 µ，如果极限
∂f
∂µ
(x
0
) = lim
t→0+
f(x
0
+ tµ) − f(x
0
)
t
存在，则称函数
f
在
x
0
处沿着方向
µ
是方向可导的，并称该极限为函数
f
在
x
0
处沿着
µ
的方向导数。
假如 f 在 x
0
处的偏导数存在，函数 f 在 x
0
处的梯度为
grad
x
0
f = ∇
x
0
f = (f
x
1
(x
0
), ··· , f
x
n
(x
n
))
显然当函数 f 可微时，∇
x
0
f = f
′
(x
0
)，且
∂f
∂µ
(x
0
) = ∇
x
0
f · µ
我们记其为 Nabla 算子，即
∇ =
∂
∂x
1
, ··· ,
∂
∂x
n
和 Laplace 算子
∆ = ∇ · ∇ =
n
X
i=1
∂
2
(∂x
i
)
2
如果函数 f 的所有二阶偏导存在且 ∆f = 0，则称其为调和的。
推广偏导数概念到二阶直至更高阶是自然的，但是微分算子是不可交换的。
定理 8.2.4 Clairaut - Euler
假设函数 f 的混合二阶偏导数 f
x
i
x
j
和 f
x
j
x
i
在 x
0
连续，则必有 f
x
i
x
j
(x
0
) = f
x
j
x
i
(x
0
)。
8.2.1 隐函数
一个基本想法是如何从 n + 1 元函数方程
F (x, y) = 0
中提取出 y = f(x)，其中 x ∈ R
n
，假设这样的 f 存在且可任意偏导。则两边对 x
i
求偏导得
F
x
i
(x, y) + F
y
(x, y)f
x
i
(x) = 0
即得
f
x
i
(x) = −
F
x
i
(x, y)
F
y
(x, y)
, 1 ⩽ i ⩽ n
顺此可推得全微分。
71
8.3 偏导数的应用
8.3.1 链式法则
我们以二元为例子，考虑二元二维向量值函数 g(x, y) = (u(x, y), v(x, y))，得到复合函数
z = (f ◦ g)(x, y) = f(u(x, y), v(x, y))
我们有链式法则
∂z
∂x
(x
0
, y
0
) =
∂f
∂u
(u
0
, v
0
)
∂u
∂x
(x
0
, y
0
) +
∂f
∂v
(u
0
, v
0
)
∂v
∂x
(x
0
, y
0
)
∂z
∂y
(x
0
, y
0
) =
∂f
∂u
(u
0
, v
0
)
∂u
∂y
(x
0
, y
0
) +
∂f
∂v
(u
0
, v
0
)
∂v
∂y
(x
0
, y
0
)
8.3.2 微分中值定理
如果对任意 x
0
, x
1
∈ D 都有
x
0
x
1
= {(1 − t)x
0
+ tx
1
| t ∈ (0, 1)} ⊂ D
则称区域 D ⊂ R
n
是凸的。如果对 x
0
有任意的 x
1
都有 x
0
x
1
⊂ D，称 D ⊂ R
n
是关于 x
0
星形的。
定理 8.3.1
若多元函数 f 在凸区域 D ⊂ R
n
内可微，则对 D 内的任意两点 x
0
和 x，存在 θ ∈ (0, 1) 使得
f(x) − f(x
0
) = ∇
x
0
+θ(x−x
0
)
(f) · (x − x
0
)
类似的，我们可以把一元的 Taylor 各种公式扩展到多元。
8.3.3 空间几何基础
平面方程的一般式是
π
1
(x, y, z) = Ax + By + Cz + D = 0
其法向量为 n = (A, B, C)。或者说是点法式
A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z − z
0
) = 0
有三点式
x − x
1
y − y
1
z − z
1
x − x
2
y − y
2
z − z
2
x − x
3
y − y
3
z − z
3
= 0
空间直线的一般式是
π
1
(x, y, z) = π
2
(x, y, z) = 0
即两个平面的交点。该直线的方向向量为 τ = n
1
× n
2
。或者有点向式
x − x
0
D
=
y − y
0
E
=
z − z
0
F
其方向向量为 τ = (D, E, F )。或者两点式
x − x
1
x
2
− x
1
=
y − y
1
y
2
− y
1
=
z − z
1
z
2
− z
1
72
过直线 L 的全体平面束，若直线表现为两平面交线（即一般式）π
1
∩ π
2
，则平面束方程为
π
1
(x, y, z) + λπ
2
(x, y, z) = 0, λ ∈ R
∗
其他形式则很容易构造两个平面转化为一般式。
如果直线 L
1
与直线 L
2
, L
3
都平行，则方向向量可以取 n
1
= n
2
× n
3
。
8.3.4 切线与法平面
考虑空间中曲线的参数方程
r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]
如果 r
′
(t) 连续且 r
′
(t) 6= 0 则称曲线是光滑的。
固定点 P
0
= (x
0
, y
0
, z
0
)，我们可以得到切向量
r
′
(t
0
) = (x
′
(t
0
), y
′
(t
0
), z
′
(t
0
))
和曲线在 P
0
处的切线方程
x − x
0
x
′
(t
0
)
=
y − y
0
y
′
(t
0
)
=
z − z
0
z
′
(t
0
)
和曲线在 P
0
处的法平面
x
′
(t
0
)(x − x
0
) + y
′
(t
0
)(y − y
0
) + z
′
(t
0
)(z − z
0
) = r
′
(t
0
) · (p − P
0
) = 0
考虑曲面的方程
F (x, y, z) = 0
固定点 P
0
= (x
0
, y
0
, z
0
)，得到切平面的法向量
n = (F
x
(P
0
), F
y
(P
0
), F
z
(P
0
))
从而得到切平面方程为
F
x
(P
0
)(x − x
0
) + F
y
(P
0
)(y − y
0
) + F
z
(P
0
)(z − z
0
) = ∇
P
0
f · (p − P
0
) = 0
和法线方程
x − x
0
F
x
(t
0
)
=
y − y
0
F
y
(t
0
)
=
z − z
0
F
z
(t
0
)
8.4 极值问题
极值问题主要有两种：无条件极值和有条件极值。
对于多元函数 f，若存在 x
0
的邻域 B
n
(x
0
, ρ) 使得
f(x
0
) ⩾ f (x)
则称 x
0
为 f 的极大值点。类似的，有极小值点，统称为极值点。如果存在去心邻域 B
n
(x
0
, ρ) −{x
0
} 使得
f(x
0
) > f (x)
则称为严格极大值点。类似的有严格极小值和严格极值点。
8.4.1 无条件极值
73
定理 8.4.1 多元函数 Fermat 引理
假设 n 元函数 f 在 x
0
处可偏导且 x
0
为其极值点，则 f
′
(x
0
) = 0。
定理 8.4.2
假设 x
0
为多元函数 f 的驻点，并假设 f 在 x
0
处有二阶连续偏导数，引入 Hessian 矩阵
Hess
x
(f) = [f
x
i
x
j
(x)]
n×n
则有如下结论：
• Hess
x
(f) 正定，f(x
0
) 为严格极小值。
• Hess
x
(f) 负定，f(x
0
) 为严格极大值。
• Hess
x
(f) 不定，f(x
0
) 不是极值。
那么对于二元函数 f，设 ( x
0
, y
0
) 为其驻点，引入记号
∆(x
0
, y
0
) = (f
xx
f
yy
− f
2
xy
)(x
0
, y
0
)
则有如下结论：
• 如果
∆
>
0
，则当
f
xx
>
0
时为严格极小值；
f
xx
<
0
为严格极大值。
• 如果 ∆ < 0，不是极值。
• 如果 ∆ = 0 无法判断，可能有可能没有。
无法判断的例子有 f
1
= x
2
y
2
, g = −f, h = x
2
y
3
，在 0 处极值情况各不相同。
因此我们求取最值可以通过以下几个步骤：
• 求出驻点和不可导点和相应的函数值。
• 求出边界上的函数值。
• 比较 1 和 2 的情况。
8.4.2 条件极值问题
Todo Lagrange 橙子法。
8.5 二重积分
定义 8.5.1
设 D ⊂ R
2
是渴求面积的有界点集，z = f(x, y) 在 D 上有界。任取分割 T 把 D 分成 n 个不重不
漏的可求面积的子区域 D
i
，并记
kT k =
n
max
i=1
diam(D
i
)
在每个子区域 D
i
上任取点 (ξ
i
, η
i
) 并求和
σ(f, T , (ξ, η)) =
n
X
i=1
f(ξ
i
, η
i
)|D
i
|
74
若当 kT k → 0 时，σ(f, T , (ξ, η)) 的极限存在且和分割 T 及点 (ξ
i
, η
i
) 的选取无关，则称函数 f (x, y)
在 D 上可积，并称该极限为函数 f 在 D 上的二重积分，记作
ZZ
D
f dσ =
ZZ
D
f(x, y) dx dy = lim
∥T ∥
n
X
i
=1
σ(f, T , (ξ, η))
我们称 f 是可积函数，D 是积分区域，x, y 是积分变量，dσ = dx dy 是面积元。
一般的，设 Ω ⊂ R
n
是可测的闭区域，f 是其上的有界函数，任取分割任取分割 T 把 Ω 分成 n 个不
重不漏的可求面积的子区域 Ω
i
，并记
kT k =
n
max
i=1
diam(Ω
i
)
在每个子区域 Ω
i
上任取点 ξ
i
并求和
V (f, T , ξ) =
n
X
i=1
f(ξ
i
)|Ω
i
|
若当 kT k → 0 时，V (f, T , ξ) 的极限存在且和分割 T 及点 ξ
i
的选取无关，则称函数 f 在 Ω 上可积，并
称该极限为函数 f 在 Ω 上的 n 重积分，记作
ZZ
Ω
f dV =
ZZ
Ω
f(x) dx dy =
Z
···
Z
Ω
f(x
1
, ··· , x
n
) dx
1
···dx
n
我们称 f 是可积函数，Ω 是积分区域，x, y 是积分变量，dV = dx dy 是面积元。
定义 8.5.2 Fubini 定理
假设二元函数 f 在闭矩形 D = [a, b] ×[c, d]，且对固定的 x，一元函数 f(x, ·) 在 [c, d] 上可积。若记
F (x) =
Z
d
c
f(x, y) dy
则 F (x) 在 [a, b] 上可积且
ZZ
D
f dx dy =
Z
b
a
F (x) dx =
Z
b
a
dx
Z
d
c
f dx dy
一般的，我们对高维长方体和任意形状的 D，都可以转化 n 重积分为逐次积分求解。
8.5.1 曲面面积
假设曲面为
Σ : r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
这里 D 是具有光滑或分段光滑边界 ∂D 的有界闭区域，r : D → Σ 是单的，且 Jacobi 矩阵是满秩的。
仿照几何直观性，对任意 (u
0
, v
0
) ∈ D 且取充分小的 ∆u, ∆v，考虑四个点
P
1
= r(u
0
, v
0
) = r
0
P
2
= r(u
0
+ ∆u, v
0
) ≈ r
0
+ r
u
(u
0
, v
0
)∆u
P
3
= r(u
0
, v
0
+ ∆v) ≈ r
0
+ r
v
(u
0
, v
0
)∆v
P
4
= r(u
0
+ ∆u, v
0
+ ∆v)
75
则这四个点围城的面积
∆S ≈
−−−→
P
1
P
2
×
−−−→
P
2
P
4
= |r
u
× r
v
|(u
0
, v
0
)∆u∆v
故
dS = |r
u
× r
v
|du dv
因此光滑曲线的面积为
ZZ
D
dS =
ZZ
D
|r
u
× r
v
|du dv
在以上条件下
S =
ZZ
D
√
EG − F
2
du dv
其中
E = r
u
· r
u
= x
2
u
+ y
2
u
+ z
2
u
F = r
u
· r
v
= x
u
x
v
+ y
u
y
v
+ z
u
z
v
G = r
v
· r
v
= x
2
v
+ y
2
v
+ z
2
v
称为曲面的 Gauss 系数。
如果曲面的方程为 z = f(x, y)，不难带入得到
E = 1 + f
2
x
, F = f
x
f
y
, G = 1 + f
2
y
故
S =
ZZ
D
q
1 + f
2
x
+ f
2
y
dx dy =
ZZ
D
p
1 + |∇(f)|
2
dx dy
8.6 曲线和曲面积分
8.6.1 第一型曲线积分
设 L ⊂ R
3
是一条可求长的连续曲线，起点终点分别为 A 和 B。L 的分割 kT k 是指 L 上的有序有限
点列
A = P
0
→ P
1
→ ···P
n
= B
令
∆
s
=
\
P
i−1
P
i
, kT k =
n
max
i=1
∆s
i
定义 8.6.1
给定的 f 是定义在 L 上的有界函数。任取 (ξ
i
, η
i
, ζ
i
) ∈
\
P
i−1
P
i
并考虑有限和
S(f, T , (ξ, η, ζ)) =
n
X
i=1
f(ξ
i
, η
i
, ζ
i
)∆s
i
如果 kT k → 0 时，S(f, T , (ξ, η, ζ)) 存在极限且和分割 T 及点 (ξ
i
, η
i
, ζ
i
) 无关，称该极限
Z
L
f ds =
Z
L
f(x, y, z) ds = lim
∥T ∥→0
n
X
i=1
f(ξ
i
, η
i
, ζ
i
)∆s
i
为函数 f 在曲线 L 上的第一型曲线积分。此时称 f 为被积函数而 L 称为积分路径。
76
假如 L 以参数的形式给出
r(t) = (x(t), y(t))
且函数 f 在 L 上连续，则 f 在 L 上的第一型曲线积分存在且
Z
L
f ds =
Z
β
α
f(x(t), y( t))
p
x
′
(t)
2
+ y
′
(t)
2
dt =
Z
β
α
f(r(t))|r
′
(t)|dt
如果 L 以 r(x) = (x, y( x)) 的形式给出则
Z
L
f ds =
Z
b
a
f(x, y(x))
p
1 + y
′2
dx
如果曲线 L 以极坐标 r = r(θ) 给出，则
Z
L
f ds =
Z
b
a
f(r(θ) cos θ, r(θ) sin θ)
p
(r(θ))
2
+ (r
′
(θ))
2
dθ
8.6.2 第一型曲面积分
假设 Σ 是可求面积的连续曲面，分割 T 是用坐标曲线网将 Σ 分成的 n 个小曲面。令
∆S
i
= |Σ
i
|, kT k =
n
max
i=1
∆S
i
定义 8.6.2
给定的 f 是定义在 Σ 上的有界函数。任取 (ξ
i
, η
i
, ζ
i
) ∈ Σ
i
并考虑有限和
S(f, T , (ξ, η, ζ)) =
n
X
i=1
f(ξ
i
, η
i
, ζ
i
)∆S
i
如果 kT k → 0 时，S(f, T , (ξ, η, ζ)) 存在极限且和分割 T 及点 (ξ
i
, η
i
, ζ
i
) 无关，称该极限
ZZ
Σ
f dS =
ZZ
Σ
f(x, y, z) dS = lim
∥T ∥→0
n
X
i=1
f(ξ
i
, η
i
, ζ
i
)∆S
i
为函数 f 在曲线 Σ 上的第一型曲面积分。此时称 f 为被积函数而 Σ 称为积分曲面。
8.6.3 第二型曲线积分
假设 L ⊂ R
3
上定向的可求长的连续曲线，给定起点 A 和终点 B。在每点上取单位切向量 τ =
(cos α, cos β, cos γ)，使得其与 L 的定向一致。
定义 8.6.3
设 F = (P, Q, R) 是一向量值函数，定义其沿着曲线 L 的第二型曲线积分为
Z
L
F · τ ds =
Z
L
(P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ) ds
其中 ds 是 L 的弧微元。定义弧微元向量
ds = τ ds = (dx, dy, dz)
77
从而可以记成
Z
L
F · ds =
Z
L
P dx + Q dy + R dz
其物理意义是力 F 沿着曲线 L 所做的功。
考虑向量形式
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
其切向量为
τ =
r
′
(t)
|r
′
(t)|
则
Z
L
P dx + Q dy + R dz =
Z
b
a
F (r(t)) · r
′
(t) dt
8.6.4 第二型曲面积分
对于光滑曲面上任意一点 P，可以做两条方向相反的法线，假如对其上经过 P 的闭合曲线，法线是
连续变化且回到原位的，是定向曲面。比如 Mobius 带就不行。
设定向曲面由参数方程给出
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
那么曲面的法向量可以表示为
±r
u
× r
v
= ±
∂(y, z)
∂(u, v)
,
∂(z, x)
∂(u, v)
,
∂(x, y)
∂(u, v)
那么可以得到法向量
n = ±
r
u
× r
v
|r
u
× r
v
|
特别的，若 z = z(x, y)，则
n = ±
1
p
1 + z
2
x
+ z
2
y
(−z
x
, z
y
, 1)
定义 8.6.4
对于曲面 Σ 和 n = (cos α, cos β, cos γ)，F = (P, Q, R) 是其上的向量值函数
ZZ
Σ
F · n dS =
ZZ
Σ
(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS
定义面积微元向量
dS = n dS = (dy dz, dz dx, dx dy)
从而可以记成
ZZ
Σ
F · dS =
ZZ
Σ
P dy dz + Q dz dx + R dx dy
78
8.6.5 Green 公式
考虑定向闭区间 [a, b] 的边界 ∂[a, b] = {a, b}，我们可以定义其上的积分
Z
∂[a,b]
f(x) = f (b) − f(a)
从而可以把一元函数 Newton - Leibniz 公式写为
Z
[a,b]
df(x) =
Z
[a,b]
f
′
(x) dx =
Z
∂[a,b]
f(x)
Green 公式就是考虑 Newton - Leibniz 公式的高维推广，由边界得出积分值。
曲线 L ⊂ R
2
，其曲线方程为 r(t) = (x(t), y(t)) 其中 t ∈ [α, β] 。如果 r(α) = r(β) 且 r(t
1
) 6= r(t
2
) 对
任何 t
1
6= t
2
都成立，则称曲线为 Jordan 曲线。
给定区域 D ⊂ R
2
，它的边界 ∂Ω 是平面曲线从而有两个方向。定义 ∂D 的正向（诱导定向）如下：沿
着 ∂D 走一圈 D 总是在左边。即右手定则。
定理 8.6.5 Green 公式
假设 D ⊂ R
2
是由有限条光滑或分段光滑的 Jordan 曲线所围成的区域，并取 ∂D 的正向。对任何
有一阶连续偏导数的 P, Q 有
Z
∂D
P dx + Q dy =
ZZ
D
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy =
ZZ
D
∂
∂x
∂
∂y
P Q
dx dy
证明 假设区域是简单的可以按 x, y 轴切片的，考虑区域
D
1
= {(x, y) | φ
1
(y) ⩽ x ⩽ ψ
1
(y), c ⩽ y ⩽ d}
计算得到
Z
∂D
Q dy =
Z
d
c
Q(ψ
1
(y), y) dy −
Z
d
c
Q(φ
1
(y), y) dy
=
Z
d
c
dy
Z
ψ
1
(y)
φ
1
(y)
∂Q
∂x
dx
=
ZZ
D
∂Q
∂x
dx dy
同理，我们对另一侧划分
D
2
= {(x, y) | φ
2
(x) ⩽ y ⩽ ψ
2
(x), a ⩽ x ⩽ b}
可以得到
Z
∂D
P dx = −
ZZ
D
∂P
∂y
dx dy
对于一般的区域，我们可以分割成多个可以切片的区域，综合即证。 □
假如重积分区域存在奇点呢？我们可以绕一圈。
定理 8.6.6 Green 定理
假设 D ⊂ R
2
是区域且 P, Q 在 D 上连续，则下列命题等价：
79
ρ
R
γ
ρ
γ
R
O
图 8.1
• 对 D 内任意分段光滑曲线 L，曲线积分
Z
L
P dx + Q dy
与路径 L 无关，只与 L 的起点和终点有关。
• 如果存在 U 使得 dU = P dx + Q dy，即称 P dx + Q dy 在 D 上是正合的，称 U 是其原函
数。
• 沿着 D 内任意分段光滑闭曲线 L，有
I
L
P dx + Q dy = 0
如果进一步假设 P, Q 在 D 上一阶导数连续，则在 D 内处处成立
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
且和上面三条等价。
8.6.6 Gauss 公式
定理 8.6.7 Gauss 公式
设 Ω ⊂ R
3
是区域且边界 ∂Ω 是由分段光滑的定向曲面构成。设 P, Q, R 是一阶导数连续的，则
ZZ
∂Ω
P dy dz + Q dz dx + R dx dy =
ZZZ
Ω
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
dx dy dz
证明 同理，假设对应区域是可以按照 x, y, z 轴切片的。定义定向曲面
S
1
= {(x, y, z) | x = ψ(y, z)}
S
2
= {(x, y, z) | x = φ(y, z)}
80
考虑其中的一部分
ZZZ
Σ
∂P
∂x
dx dy dz =
ZZ
D
dy dz
Z
ψ(y,z)
φ(y,z)
∂P
∂x
dx
=
ZZ
D
(P (ψ, y, z) − P (φ, y, z)) dy dz
=
ZZ
S
1
P dy dz +
ZZ
S
2
P dy dz
=
ZZ
∂D
P dy dz
同理，对另外三个方向也可以累加。 □
8.6.7 Stokes 公式
定理 8.6.8 Stokes 公式
设 Σ 是光滑定向曲面且边界 ∂Σ 为分段光滑闭曲线，取诱导定向。对其上具有一阶连续偏导数的函
数 P, Q, R 有
Z
∂Σ
P dx + Q dy + R dz =
ZZ
Σ
dy dz dz dx dx dy
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
8.6.8 旋转体
假设平面曲线 y = f(x) 绕 x 轴进行旋转，则旋转体体积为
V = π
Z
b
a
f
2
(x) dx
假如曲线绕直线 y = tan θx 进行旋转，则高度应当是
d = |x cos θ − y sin θ|
小矩形的宽度为增量在直线上的投影
(dx, dy) · (cos θ, sin θ) = cos θ dx + sin θ dy
故
V = π
Z
b
a
|x cos θ − y sin θ|
2
(cos θ dx + sin θ dy) = π
Z
b
a
|yk − x|
2
(k
2
+ 1)
3
2
(y
′
k + 1) dx
8.7 场论
如果对于区域 D 每点 x 都指定一个对象 T (x)，称为张量，我们就把映射
T : x 7→ T (x)
称为 D 上的张量场。考研仅考虑 T 是向量的情形。
81
8.7.1 向量场
向量场 T 是对每个时间 t 都指定了一个向量值映射 T
t
。假设 Ω ⊆ R
3
。
• 数量场：函数 f (x, y, z, t)。
• 向量场：向量映射 f (x, y, z, t)。
• 若场不随时间变化则称稳定场，否则称为不稳定场。一般来说稳定场都可以表示为
F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
• 给定 Ω 上的稳定向量场 F ，Ω 中的光滑曲线 Γ 称为 F 的向量线或流线，如果 Γ 上每点出的切线
方向都和 F 一致。显然流线方程为
x
′
(t)
P (r(t))
=
y
′
(t)
Q(r(t))
=
z
′
(t)
R(r(t))
这里 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 是 Γ 的向量表达式。如果进一步要求 r
′
(t) = F (r(t))，则称 Γ 是 F 的
积分曲线。
我们可以定义数量场的等值面
f
−1
(c) = {(x, y, z) ∈ R
3
| f(x, y, z) = c}
若 f 在 Ω 上连续，可以定义其梯度
grad(f) = (f
x
, f
y
, f
z
)
这个向量场称为 f 的梯度场。函数沿着方向
v = (cos(v, x), cos(v, y), cos(v, z))
的方向导数可以表示为
∂f
∂v
= grad(f) · v = |grad(f)|cos θ
因此等值面上的法向量为
n =
1
|grad(f)|
(f
x
, f
y
, f
z
)
此时
∂f
∂n
= |grad(f)| ⩾ 0, grad(f) =
∂f
∂n
n
即函数 f 在一点的梯度和其等值面在该点的单位法向量是平行的，且这个方向是导数取得最大值的方向。
8.7.2 向量场的散度
假设 F = (P, Q, R) 在 Ω 上连续，且 Σ 是 Ω 中的光滑定向曲面，则曲面积分
Φ(F , Σ) =
ZZ
Σ
F · n dS
称为向量场 F 沿着曲线 Σ 的通量。当 F 导数连续时，称
div(F ) = P
x
+ Q
y
+ R
z
为 F 的散度。如果散度为 0 则称 F 是无源场.
用 Gauss 公式可以写成
ZZ
∂Ω
F · dS =
ZZZ
Ω
div(F ) dV
82
散度有性质
div(λF + µG) = λdiv(F ) + µdiv(G)
和
div(fF ) = fdiv(F ) + grad(f ) · F
8.7.3 旋度
假设 F = (P, Q, R) 在 Ω 上连续，且 Γ 是 Ω 中的光滑定向曲线，则曲线积分
Z
Γ
F · τ ds =
Z
Γ
F · ds
为向量场 F 沿着曲线 Γ 的环量。当 F 在 Ω 上可导时，称
rot(F ) =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
= (R
y
− Q
z
, P
z
− R
x
, Q
x
− P
y
)
为 F 的旋度。如果旋度为 0 则称 F 为无旋场。此时 Stokes 公式可以写为
ZZ
Σ
rot(F ) · dS =
Z
∂Σ
F · ds
旋度有性质
rot(λF + µG) = λrot(F ) + µrot(G)
和
rot(fF ) = frot(F ) + grad(f ) × F
且
rot(grad(f)) = 0
83
第九章 概率论
考研中遇到的概率论很少，暂放于此。
9.1 随机事件与概率
假定某个试验有有限个可能的结果 e
1
, ··· , e
N
，其出现机会是等可能的。假定事件 E 包含了其中的
M 个结果，则称事件 E 的概率为
P(E) = M/N
这是古典概型。另一些时候，我们把结果扩展到无限的情况。我们把度量（可以通俗的理解为面积）相同
的事件称为等可能的，这是几何概型。
称集合 Ω 随机事件的样本空间，其元素 ω 称为基本事件。事件 A 是 Ω 的一个子集，赋给每个事件
一个实数值 P(A)，称为概率。其满足要求：
• 非负性：P(A) ⩾ 0。
• 规范性：P(Ω) = 1, P(∅) = 0。
• 加法公理。
若两个事件不能在同一次试验中同时发生，则称为互斥的。若一些事件中任意两个都互斥，则称为两
两互斥。可以进一步导出对立事件的概念。可以把集合的交并补也引入。
定理 9.1.1 加法公理
若干个互斥事件之和的概率，等于各事件的概率之和：
P
[
A
i
=
X
P(A
i
)
笔记 这条公理其实是在古典定义、统计定义下是可证明的，但是为什么是公理呢？因为我们的确
可以建立一种新的概率理论，在其中加法公理不成立。类似于平行公设。
定义 9.1.2
设 A, B 是两个事件且 P(A) > 0，我们称在已知 A 发生的条件下事件 B 发生的概率为条件概率，
记作
P(B|A) =
P(AB)
P(A)
假如 P(B | A) > P(B)，我们可以说事件 A 促进了事件 B 的发生。反之 P(B | A) = P(A)，则 B 的
发生对 A 无影响。
84
形式的说：
定义 9.1.3 条件概率
若两事件 A, B 满足
P
(
AB
) =
P
(
A
)
P
(
B
)
则称 A, B 独立。
变换形式是为了避免 0 的讨论。
设一列事件 A
1
, A
2
, ···，假如从中取出任意有限个都成立
P(A
i1
···A
im
) = P(A
i1
) ···P(A
im
)
那么称事件 A
1
, A
2
, ··· 相互独立。注意与两两独立的区别。
定理 9.1.4 全概率公式
设 B
1
, ··· 为一列事件，他们两两互斥且每次试验至少发生一个。有时称这种性质为“完备事件群”。
那么对任意事件 A 有
P(A) =
n
X
i=1
P(B
i
)P(A | B
i
)
证明 显然
P(A) =
n
X
i=1
P(B
i
A) =
n
X
i=1
P(B
i
)P(A | B
i
)
□
定理 9.1.5 贝叶斯公式
对 n 个两两不相容事件 A
1
, ··· , A
N
，则对事件 B 有
P ( A
j
|B) =
P(A
j
)P(B|A
j
)
n
P
i=1
P(A
i
)P(B|A
i
)
证明 显然
P ( A
j
|B) =
P(A
j
B)
P(B)
=
P(A
j
)P(B|A
j
)
n
P
i=1
P(A
i
)P(B|A
i
)
□
笔记 若 P(AB) = 0，不意味着 AB = ∅。比如 [0, 1] ∩ [1, 2] = {1}，但概率是 0。
9.1.1 摸球不放回模型
袋中有 a 个黑球，b 个白球，若不放回的取 n 个球，其中恰好 k 个白球的概率为
P(A
k
) =
b
k

a
n−k
a+b
n
85
定理 9.1.6 抽签原理
袋中有 a 个黑球，b 个白球，若不放回的依次取球，每次抽中白球的概率都为
b
a+b
。
证明 对于第 i 次抽检，可以看成从 a + b 个球中抽出 i 个球排成一排，其可能数是 A
i
a+b
。而第 i 个位置
是白球的概率为 bA
i−1
a+b−1
，故
P(A
i
) =
bA
i−1
a+b−1
A
i
a+b
=
b
a + b
□
9.1.2
摸球放回模型
袋中有 a 个黑球，b 个白球，若有放回的取出 n 个球，其中恰好 k 个白球的概率为
P(B
k
) =
n
k
a
n−k
b
k
(a + b)
n
= [x
k
]
a + bx
a + b
n
9.2 一维随机变量及其分布
随机变量就是“其值会随机而定”的变量，是一个实值单值函数。设随机实验的样本空间为 Ω，若对
于任意 ω ∈ Ω 都有唯一实数 X(ω) 与其对应，且对任意实数 x，{ω | X(ω) ⩽ x, ω ∈ Ω} 是随机时间，则称
定义在 Ω 上的实值单值函数为随机变量。
离散型随机变量 研究一个随机变量，不只是查看其能取哪些值，更要看其取各种值的概率如何。
定义 9.2.1
设 X 是离散型随机变量，其全部可能值为 {a
1
, ···}，则称
p
i
= P{X = a
i
}
为其概率函数。称
F (x) = P{X ⩽ x} =
X
a
i
⩽x
p
i
是其分布函数。记为 X ∼ F (x)，称 X 服从 F (x) 分布。
其具有以下的性质：
• F (x) 对 x 单调不减。
• F (x) 是 x 的右连续函数。
• F (−∞) = lim
i→−∞
F (x) = 0，F (+∞) = lim
x→+∞
F (x) = 1。
• P{X ⩽ a} = F (a)，P{X < a} = F (a − 0)，P{X = a} = F (a) − F (a − 0)。
如果随机变量只取有限的可列值，则称为离散型随机变量，可以写分布列。
连续型随机变量 如果随机变量的分布函数是 F (x)，则 f(x) = F
′
(x) 是其的概率密度函数。
其具有以下的性质：
• f (x) ⩾ 1。
86
• 对任何常数 a, b 有
P{a ⩽ X ⩽ b} = F (b) − F (a) =
Z
b
a
f(x) dx,
Z
∞
−∞
f(x) dx = 1
9.2.1 常见随机分布
二项分布 如果 X 的概率分布为
P{X = k} =
n
k
p
k
(1 − p)
n−k
. k = 0, 1, ··· , n
则称 X 服从参数为 (n, p) 的二项分布，记为 X ∼ B(n, p)。特别的，当 n = 1 时称为二项分布。二项分布
也是 n 重伯努利实验中事件 A 发生的次数，其中 P(A) = p。
泊松分布 如果 X 的概率分布为
P{X = k} =
λ
k
k!
e
−λ
, k = 0, 1, ···
则记为 X ∼ P(λ)。
几何分布 如果 X 的概率分布为
P{X = k} = (1 − p)
k−1
p, k = 1, 2, ···
则记为 X ∼ G(p)。
超几何分布 如果 X 的概率分布为
P{X = k} =
M
k

N−M
n
−
k
N
n
, max(0 , n − N + M) ⩽ k ⩽ min(M, n)
则记为 X ∼ H(n, N, M )。设有 N 个产品组成的整体，其中有 M 个不合格产品，从中取出 n 个，次品数
为 k，这就是组合意义。
均匀分布 如果 X 的概率密度函数为
f(x) =
1
b − a
, a < x < b
则记为 X ∼ U(a, b)。
指数分布 如果 X 的概率密度函数为
f(x) = λe
−λx
, x > 0
则记为 X ∼ E(λ)。
正态分布 如果 X 的概率密度为
f(x) =
1
√
2πσ
exp
−
(x − µ)
2
2σ
2
则记为 X ∼ N(µ, σ
2
)。
87
9.3 多维随机变量
设 X = (X
1
, ··· , X
N
)，其中每个分量都是一维随机变量，则 X 是一个 n 维随机变量。
离散型 假如每个分量是离散型的，那么称 X 是 n 维离散型随机变量。
定义 9.3.1
以 {a
i1
, ···} 记 X
i
的全部可能值，则事件的概率
p(j
1
, ··· , j
n
) = P{X
1
= a
1j
1
, ··· , X
n
= a
nj
n
}
为随机变量的概率函数。显然应该满足条件
p(j
1
, ···) ⩾ 0,
X
j
n
···
X
j
1
p(j
1
, ···) = 1
连续型 连续型随机变量不能简单的定义为各分量都是“一维连续型随机变量的那种”。考虑 X
1
= X
2
，
则 (X
1
, X
2
) 仅在对角线处有值，故不可能存在概率密度函数。
定义 9.3.2
设 f(x
1
, ··· , x
n
) 是定义在 R
n
上的非负函数，使得对 R
n
中的任何集合 A，有
P{X ∈ A} =
Z
A
···
Z
f(x
1
, ··· , x
n
) dx
1
···dx
n
则称 f 是 X 的概率密度函数。显然当 P{X ∈ R
n
} = 1。
也可以定义分布函数
F (x
1
, ··· , x
n
) = P{X
1
⩽ x
1
, ··· , X
n
⩽ x
n
}
对于二维 (X, Y )，若 f 在点 (x, y) 处连续，则
∂
2
F (x, y)
∂x ∂y
= f(x, y)
反之若 F (x, y) 连续可导，则此式是其概率密度。
边缘分布 对任意的 n 个实数，x
1
, x
2
, ··· , x
n
，称 n 元函数
F (x
1
, ··· , x
n
) = P{X
1
⩽ x
1
, X
2
⩽ x
2
, ··· .X
n
⩽ x
n
}
为多维随机变量 (x
1
, ··· , x
n
) 的联合分布函数，记为 (x
1
, ··· , x
n
) ∼ F (x
1
, ··· , x
n
)。
• F (x, y) 是 x, y 的单调不减函数。
• F (x, y) 是 x, y 的右连续函数。
• F (−∞, y) = F (x, −∞) = F (−∞, −∞) = 0，F (+∞, +∞) = 1。
• 对任意 x
1
< x
2
, y
1
< y
2
，有
P{x
1
< X ⩽ x
2
, y
1
Y ⩽ y
2
} = F (x
2
, y
2
) − F (x
2
, y
1
) − F (x
1
, y
2
) + F (x
1
, y
1
) ⩾ 0
88
设其联合分布函数为 F (x, y) ，定义边缘分布函数
F
X
(x) = P{X ⩽ x} = F (x, +∞)
同理，有 F
Y
(y) = F (+∞, y)。
9.3.1 常见的二维分布
二维均匀分布 称 (X, Y ) 在平面有界区域 D 上服从均匀分布，如果 (X, Y ) 的概率密度为
f(x, y) =
1
S
D
, ( x, y) ∈ D
二维正态分布 TODO。
9.3.2 二维随机变量的独立性
条件概率分布 对于二维离散型随机向量 (X, Y )，其联合概率分布为
p
i,j
= P{X = x
i
, Y = y
j
}
记为 (X, Y ) ∼ p
i,j
。依条件概率的定义，有
P{X = x
i
| Y = y
i
} =
P{X = x
i
, Y = y
j
}
P{Y = y
j
}
=
p
i,j
p
,j
设二维连续型随机向量 (X, Y )，其概率密度是 f(x, y)。假设 y ∈ [a, b]，依条件概率的定义，有
P{X ⩽ c | a ⩽ Y ⩽ b} =
P{X ⩽ c, a ⩽ Y ⩽ b}
P{a ⩽ y ⩽ b}
=
R
c
−∞
R
b
a
f(x, y) dy dx
R
b
a
f
Y
(y) dy
对 c 求导，即得条件密度函数
f
X|Y
(x | a ⩽ y ⩽ b) =
R
b
a
f(x, y) dy
R
b
a
f
Y
(y) dt
考虑极限，a, b 收敛于 y 处，有
f
X|Y
(x | y) =
f(x, y)
f
Y
(y)
独立性 与一维情况类似，我们可以推广为 n 维。
定义 9.3.3
设 n 维随机向量 (x
1
, ··· , x
n
) 的联合密度函数为 f(x
1
, ··· , x
n
)，而 f
i
是 X
i
的边缘密度函数，若
f(x
1
, ··· , x
n
) = f
1
(x
1
) ···f
n
(x
n
)
则称随机变量 x
1
, ··· , x
n
相互独立。
89
随机变量函数的概率分布 离散的情况是容易的，实在不行手算。
设连续型随机变量 X 有密度函数 f(x)，对于函数 g，考虑 Y = g(X) 下的情况。假设 g 严格上升，设
h = g
−1
，有
P{Y ⩽ y} = P{X ⩽ h(y)} =
Z
h(y)
−∞
f(t) dt
则 y 的密度函数为
l(y) = f(h(y))h
′
(y)
同理，对严格递减也可以进行讨论，得到结论
l(y) = f(h(y))|h
′
(y)|
例如 Y = aX + b，则 Y 的密度函数为
l(y) =
1
|a|
f
y − b
a
现考虑二元情况 (X
1
, X
2
) 的密度函数为 f(x
1
, x
2
)，并有变量
Y
1
= g
1
(X
1
, X
2
), Y
2
= g
2
(X
1
, X
2
)
假定存在逆变换
X
1
= h
1
(Y
1
, Y
2
), X
2
= h
2
(Y
1
, Y
2
)
此时 Jacobi 行列式
J(y
1
, y
2
) =
∂h
1
/∂y
1
∂h
1
/∂y
2
∂h
2
/∂y
1
∂h
2
/∂y
2
不为 0。在 (Y
1
, Y
2
) 的平面上任取一个区域 A，对应于 (X
1
, X
2
) 上的区域是 B。即
P{(Y
1
, Y
2
) ∈ A} = P{(X
1
, X
2
) ∈ B}
=
ZZ
B
f(x
1
, x
2
) dx
1
dx
2
=
ZZ
A
f(h
1
(y
1
, y
2
), h
2
(y
1
, y
2
)) · |J(y
1
, y
2
) dy
1
dy
2
因此 (Y
1
, Y
2
) 的概率密度为
l(y
1
, y
2
) = f (h
1
(y
1
, y
2
), h
2
(y
1
, y
2
))|J(y
1
, y
2
)|
比较常见的例子是线性变换
Y
1
= a
11
X
1
+ a
12
X
2
, Y
2
= a
21
X
1
+ a
22
X
2
当其行列式不为 0 时，设其存在逆变换
X
1
= b
11
Y
1
+ b
12
Y
2
, X
2
= b
21
Y
1
+ b
22
Y
2
可得
l(y
1
, y
2
) = f (b
11
y
1
+ b
12
y
2
, b
21
y
1
+ b
22
y
2
)|b
11
b
22
− b
12
b
21
|
90
9.4 随机变量的数字特征
设 X 是随机变量，其分布列为 p
i
= P{X = x
i
}，记
E(X) =
∞
X
i=1
x
i
p
i
为随机变量 X 的数学期望。若 X 是连续型随机变量，则记
E(X) =
Z
+∞
−∞
xf(x) dx
为其期望。
其拥有线性性。比如设 X, Y 相互独立，有
E(XY ) = E(X)E(Y ) , E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y )
我们记 E[( X − E(X))
2
] 为 X 的方差，有
D(X) = E[(X − E(X))
2
] = E(X
2
) − (E(X))
2
称
p
D(X) 为 X 的标准差，或者均方差，记为 σ(X)。
若 X 是离散型随机变量，则
D(X) =
∞
X
i=1
(x
i
− E)
2
p
i
连续性随机变量，则
D(X) =
Z
∞
−∞
(x − E)
2
f(x) dx
定理 9.4.1 切比雪夫不等式
如果随机变量 X 的期望 E(X) 和方差 D(X) 存在，则对任意 ε > 0 有
P{|X − E(X)| < ε} ⩾ 1 −
D(X)
ε
2
我们定义 (X, Y ) 的协方差为
Cov(X, Y ) = E[(X − E(X)(Y − E(Y )))] = E(XY ) − E(X)E(Y )
称 ρ
XY
=
Cov(X,Y )
√
D(X)D( Y )
为 X, Y 的相关系数。
9.5 大数定律与中心极限定理
设随机变量 X 与随机变量序列 {X
n
}，如果对任意的 ε > 0 有
lim
n→∞
P{|X
n
− X| < ε} = 1
则称随机变量序列 {X
n
} 依概率收敛于随机变量 X，记为
lim
n→∞
X
n
= X(P), 或 X
n
P
−→ X(n → ∞)
91
定理 9.5.1 切比雪夫大数定律
设 {X
n
} 是相互独立的随机变量序列，如果方差 D(X) 存在且有一致有上界，则 {X
n
} 服从大数定
律
1
n
n
X
i=1
X
i
P
−→
1
n
n
X
i=1
E(X
i
)
定理 9.5.2 伯努利大数定律
假设 µ
n
是 n 重伯努利实验中时间 A 发生的次数，在每次实验中 A 发生的概率为 p(0 < p < 1)，则
µ
n
n
P
−→ p
定理 9.5.3 辛钦大数定律
设 {X
n
} 是独立同分布的随机变量序列，如果 E(X
i
) = µ 存在，则
1
n
n
X
i=1
X
i
P
−→ µ
定理 9.5.4 列维 - 林德伯格定理
假设 {X
n
} 是独立同分布的随机变量序列，如果
E(X
i
) = µ, D(X
i
) = σ
2
> 0
存在，则对任意的实数 x 有
lim
n→∞
P
P
n
i=1
X
i
− nµ
σ
√
n
⩽ x
=
1
√
2π
Z
x
−∞
exp
−
t
2
2
dt = Φ(x)
定理 9.5.5 棣莫弗 - 拉普拉斯定理
设随机变量 Y
n
∼ B(n, p)，其中 0 < p < 1 且 n > 1，则对任意的实数 x，有
lim
n→∞
P
(
Y
n
− np
p
np(1 − p)
⩽ x
)
=
1
√
2π
Z
x
−∞
exp
−
t
2
2
dt = Φ(x)
9.6 数理统计
研究对象的全体称为总体，组成总体的每一个元素称为个体。我们把总体和 X 等同起来，所谓总体
的分布就是指
X
的分布。
n 个相互独立且与总体 X 具有相同概率分布的随机变量 x
1
, ··· , x
n
所组成的总体为 (x
1
, ··· , x
n
) 称
为来自总体 X 容量为 n 的一个简单随机样本，简称样本。一次抽样结果的 n 个具体数值称为 x
1
, ··· , x
n
的一个观测值（样本值）。
92
假设总体 X 的分布函数为 F ，则 (x
1
, ··· , x
n
) 的分布函数为
F (x
1
, ··· , x
n
) =
n
Y
i=1
F (x
i
)
设 x
1
, ··· , x
n
为来自总体 X 的一个样本，g 为仅与 x 有关的 n 元函数，则称 g 为样本的一个统计
量。若 (x
1
, ··· , x
n
) 为样本值，则 g(x
1
, ··· , x
n
) 为观测值。
样本均值
X =
1
n
n
X
i=1
X
i
样本方差
S
2
=
1
n − 1
n
X
i=1
(X
i
− X)
2
样本 k 阶（原点）矩
A
k
=
1
n
n
X
i=1
X
k
i
样本 k 阶中心矩
B
k
=
1
n
n
X
i=1
(X
i
− X)
k
将 n 个观测量从小到大的顺序排列，记随机变量 X
(k)
为第 k 顺序统计量。
常用统计量：
E(X
i
) = E(X)
D(X
i
) = D(X)
E(X) = E(X)
D(X) =
1
n
D(X)
E(S
2
) = D(X)
9.6.1 三大分布
χ
2
分布 若随机变量 x
1
, ··· , x
n
相互独立且都服从标准正态分布，则随机变量 X =
P
X
2
i
服从自由度为
n 的 χ
2
分布，记为 X ∼ χ
2
(n)。
对于给定的 α(0 < α < 1)，称满足
P
χ
2
> χ
2
α
(n)
=
Z
n
χ
2
α
(n)
f(x) dx = α
的 χ
2
α
(n) 为 χ
2
(n) 分布的上 α 分位点。
t 分布 设随机变量 X ∼ N (0, 1), Y ∼ χ
2
(n)，X 与 Y 互相独立，则随机变量 t =
X
√
Y/n
服从自由度为 n
的 t 分布，记为 t ∼ t( n) .
F 分布 设随机变量 X ∼ χ
2
(n
1
), y ∼ χ
2
(n
2
)，且 X 与 Y 相互独立，则 F =
X/n
1
Y/n
2
服从自由度为 (n
1
, n
2
)
的 F 分布，记为 F ∼ F (n
1
, n
2
)。
93
9.6.2 参数的点估计
设总体 X 的分布函数为 F (x; θ)，其中 θ 是一个未知参数，x
1
, ··· , x
n
是取自总体 X 的一个样本。由
样本构造一个适当的统计量
ˆ
θ(x
1
, ··· , x
n
) 作为参数 θ 的估计，则称
ˆ
θ 为其估计量。
如果 x
1
, ··· , x
n
是样本的一个观察值，将其带入估计量得值
ˆ
θ(x
1
, ··· , x
n
) 并以此值作为未知参数的
近似值，则称为 θ 的估计值。
矩估计法 设总体 X 分布有 n 个样本，有 k 个未知参数。若 X 的原点矩存在，我们令样本矩等于总体矩
1
n
N
X
i=1
X
l
i
= E(X
l
), l = 1, ··· , k
这是包含 k 个参数的 k 个方程，由此解得矩估计量和矩估计值。
一般约定：用矩法方程求总体未知参数的估计量时，从低阶开始。
最大似然估计法 最大似然原理：对未知参数 θ 进行估计时，在该参数可能的取值范围 I 内选取，用使”
样本获得观测值 x
1
, ··· , x
n
的概率最大的参数值
ˆ
θ 作为 θ 的估计。
假设 X 是离散型随机变量，其概率分布为 P{X = x} = p(x; θ)，那么求其取值概率
L(x
1
, ··· , x
n
; θ) = P{X
1
= x
1
, ··· , X
n
= x
n
} =
n
Y
i=1
P{X
i
= x
i
} =
n
Y
i=1
p(x
i
; θ)
称为样本的似然函数。若存在
ˆ
theta 使得 L 取到最大值，则称
ˆ
theta 为最大似然估计值，对应的统计量是
θ 的最大似然估计量。
同理，连续型随机变量也有
L(x
1
, ··· , x
n
; θ) =
n
Y
i=1
f(x
i
; θ)
94
第十章 习题
10.1 函数、极限、连续
问题 000001
设 a
1
= 1 , a
k
= k(a
k−1
+ 1)，试计算
lim
n→∞
n
Y
k=1
1 +
1
a
k
解 先变形
1 +
1
a
k
=
a
n+1
ka
n
累乘可以化简
n
Y
k=1
1 +
1
a
k
=
a
n+1
(n + 1)!
注意到
a
n+1
(n + 1)!
−
a
n
n!
=
a
n+1
− (n + 1)a
n
(n + 1)!
=
1
n!
故
lim
n→∞
n
Y
k=1
1 +
1
a
k
= lim
n→∞
1 +
1
2!
+ ··· +
1
n!
= e
问题
000002
设
x
1
= 2
, x
n
+ (
x
n
−
4)
x
n−1
= 3(
n
= 2
,
3
,
···
)
，求
lim
n
→∞
x
n
。
解 显然是考不动点。
考虑方程
x + (x − 4)x − 3 = x
2
− 3x − 3 = 0
的解，取其中一解 x
0
=
3+
√
21
2
。接下来考察单调性，设 x
n−1
∈ [2, x
0
)，有
x
n
− x
n−1
= 4 − x
n−1
−
1
x
n
− 1
= −
x
2
n−1
− 3x
n−1
− 3
x
n−1
− 1
> 0
故序列
{
x
n
}
单调递增且
x
n
∈
[2
, x
0
)
。设极限为
A
，解方程
A
2
−
3
A
−
3 = 0
, A
=
x
0
=
3 +
√
21
2
95
问题 000003
是否存在这样的函数，它在区间 [0, 1] 上每点取有限值，在此区间的任何点的任一邻域内无界。
解 构造
f(x) =
n, x =
m
n
, m, n 为互质整数
0, x 为无理数
问题 000004
设 f, g 是 R 上的实函数，且
f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)g(y)
在 R 上 f(x) 不恒等于零但有界，试证：|g(y)| ⩽ 1
解 令 M = sup |f(x)|，则有
2M ⩾ |f(x + y)| + |f(x − y)| ⩾ |f(x + y) + f(x − y)| = 2|f (x)||g( y) |
设存在 y
0
使得 |g(y
0
)| = 1 + 2δ > 1。由上确界的定义知存在 x
0
有
M ⩾ |f(x
0
)| >
M
δ + 1
故
2|f(x
0
)||g(y
0
)| >
2(1 + 2δ)M
1 + δ
> 2M
因此矛盾，故恒有 |g(y)| ⩽ 1。
问题 000005
设 f 是闭区间 [a, b] 上的增函数（但不一定连续），如果 f (a) ⩾ a, f(b) ⩽ b，试证：∃x
0
∈ [a, b]，使
得 f(x
0
) = x
0
。
解 设 A = {x | f(x) ⩾ x}，由题知 a ∈ A 故 A 非空。又 f 定义在 [a, b] 上，故 A 有界。因此设
x
0
= sup A ∈ [a, b] 是有意义的。又 f(x) ∈ [a, b] 在定义域内，分类讨论如下
1. 若 y
0
= f(x
0
) > x
0
，由单调性知
f(y
0
) = f (f (x
0
)) ⩾ f (x
0
) = y
0
故 y
0
∈ A。这意味着 sup A ⩾ y
0
> x
0
，矛盾。
2. 若 y
0
= f(x
0
) < x
0
，由确界定义知 ∃x
1
∈ A 使 y
0
< x
1
⩽ x
0
，由单调性知
f(x
1
) ⩽ f (x
0
) = y
0
< x
1
这意味着 x
1
/∈ A，矛盾。
故 y
0
= f(x
0
) = x
0
，此时 x
0
= sup{x | f(x) ⩾ x}。
注意 x
0
不一定在 A 中，即 f(x
0
) ⩾ x
0
不一定成立。
96
问题 000006
设 f(x) 是定义在 R 上的函数且对任意 x, y 有
|xf(y) − yf(x)| ⩽ M |x| + M |y|
其中 M > 0。求证：存在常数 a 使得对任意 x 有 |f (x) − ax| ⩽ M
解 当 x = 0 时，有 |f(0)| ⩽ M。而当 xy 6= 0 时，恒有
f(x) −
f(y)
|y|
x
⩽ M
1 +
|x|
|y|
若 a 不存在，即对任意的 a 存在 x
0
使
|f(x
0
) − ax
0
| = M (1 + 2δ) > M
那么取 a =
f(y
0
)
|y
0
|
，当 y
0
=
|x
0
|
δ
时，有
f(x) −
f(y
0
)
|y
0
|
x
⩽ M
1 +
|x
0
|
|y
0
|
= M(1 + δ)
因此矛盾，故存在 a。
问题 000007
设 lim
n→∞
a
n
= A，求证： lim
n→∞
P
a
n
n
= A。
解 即对于任给的 ε > 0，存在 n > N
1
使得
|a
n
− A| <
ε
2
那么变形有
P
a
n
n
− A
⩽
P
|a
n
− A|
n
=
P
N
1
k=1
|a
k
− A|
n
+
P
n
k=N
1
+1
|a
k
− A|
n
注意到
P
N
1
k=1
|a
k
− A| 已经为定值，从而存在 n > N
2
使得
P
N
1
k=1
|x
k
− A|
n
<
ε
2
因此当 n > max{N
1
, N
2
} 时有
LHS <
ε
2
+
n − N
1
n
×
ε
2
<
ε
2
+
ε
2
= ε
问题 000017
已知 lim
x→+∞
f(x) 存在，且
f(x) =
x
1+x
(1 + x)
x
−
x
e
+ 2 lim
x→∞
f(x)
求 f(x)。
97
解 显然先取 t =
1
x
，设极限为 A，则
A = 2A + lim
t→0
+
1
t(t + 1)
1
t
−
1
te
故取等价无穷小得
−A = lim
t→0
+
1 − exp
ln(t+1)
t
− 1
t exp
ln(t+1)
t
= lim
t→0
+
1 −
ln(t+1)
t
te
=
1
2e
因此
f(x) =
x
1+x
(1 + x)
x
−
x + 1
e
问题 000019
设数列 {x
n
} 满足 0 < x
n
<
π
2
，且
cos x
n+1
− x
n+1
= cos x
n
（1）计算 lim
n→∞
x
n
。
（2）计算 lim
n→∞
x
n+1
x
2
n
。
解 （1）因为
cos x
n+1
− cos x
n
= x
n+1
> 0
且 0 < x
n
<
π
2
，因此 0 < x
n+1
< x
n
。故极限存在。
设极限为 a，由 cos a − a = cos a，易得 a = 0。
（2）由于 cos x ∼ 1 −
x
2
2
，故
lim
n→∞
x
n+1
x
2
n
= lim
n→∞
x
n+1
2 − 2 cos x
n
= lim
n→∞
x
n+1
2 − 2 cos x
n+1
+ 2x
n+1
=
1
2
问题 000030
设
x
n+1
= 2 +
1
x
n
, x
1
= 2
求 lim
n→∞
x
n
。
解 设 A = 2 +
1
A
，取正解 A = 1 +
√
2。容易由数学归纳法证得 x
n
∈ [2,
5
2
]，注意到
|x
n+1
− A| =
2 +
1
x
n
− A
=
1
Ax
n
|x
n
− A| ⩽
1
2A
|x
n
− A|
因此 lim
n→∞
x
n
= A = 1 +
√
2。
也可以奇偶分开讨论单调性。
问题 000031
设 f(x) 在 [0, 1] 上连续，且 f(0) = f (1)。证明：对于任意的 n ∈ N，在 [0, 1] 上至少存在一个 ξ 使
98
得
f
ξ +
1
n
= f(ξ)
解 设 F (x) = f(x +
1
n
) − f(x)，即证其在 [0, 1 −
1
n
] 上有零点。注意到取一些点
n−1
X
i=0
F
i
n
= f(1) − f (0) = 0
则要么 F 在这些点上值都为零，否则至少存在两个值异号，由介值定理知也存在零点。
问题 000059
求极限
lim
x→+∞
x
√
x − 1
1
ln x
解
lim
x→+∞
x
√
x − 1
1
ln x
=
1
e
问题 000060
求极限
lim
x→0
ln(sin
x
+e
x
) − 2x
ln(x
2
+ e
2x
) − 2x
解
lim
x→0
ln(sin
x
+e
x
) − 2x
ln(x
2
+ e
2x
) − 2x
= 1
问题 000066
求极限
lim
x→0
1 +
1
n
n
2
e
n
解
lim
x→0
1 +
1
n
n
2
e
n
=
1
√
e
问题 000067
设 x
1
=
√
a, x
n+1
=
√
a + x
n
，证明： lim
n→∞
x
n
存在，并求其值。
解 设 A =
√
a + A，取正解
A =
1 +
√
1 + 4a
2
假设
√
a ⩽ x
n
⩽ A，不难推得
|x
n+1
− A| =
|x
n
− A|
√
a + x
n
+ A
⩽
1
A
|x
n
− A|
因此 lim
n→∞
x
n
→ A。
99
10.2 一元微分学
问题 000009
设 f(z) 在 [0, 1] 上具有一阶连续导数，f(0) = 0，证明: 存在 ξ ∈ [0, 1]，使得
f
′
(ξ) = 2
Z
1
0
f(x) dx
解 TODO。设上下界 m, M ，中值定理。
问题 000010
设 f (x) 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导，且 f (0) = 0 , f (1) = 1，证明存在不同的 ξ
1
, ξ
2
∈ (0, 1)，
使得
1
f
′
(ξ
1
)
+
1
f
′
(ξ
2
)
= 2
解 由于连续，即存在 x
0
∈ (0, 1) 使得 f(x
0
) =
1
2
。由中值定理，存在 ξ
1
∈ (0, x
0
) 使得
f
′
(ξ
1
) =
f(x
0
) − f(0)
x
0
− 0
=
1
2x
0
同理，存在 ξ
2
∈ (x
0
, 1) 使得
f
′
(ξ
2
) =
f(1) − f(x
0
)
1 − x
0
=
1
2(1 − x
0
)
故
1
f
′
(ξ
1
)
+
1
f
′
(ξ
2
)
= 2 x
0
+ 2(1 − x
0
) = 2
问题 000011
设 f (x) 在 [0, 3] 上连续，在 (0, 3) 内可导，且 f(0) + f(1) + f(2) = 3, f (3) = 1，证明存在 ξ ∈ (0 , 3)，
使得 f
′
(ξ) = 0。
解 TODO。设 f (c) = f(3) = 1, c ∈ (0, 2)。套中值定理。
问题 000012
设 f(x) 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导，且
f(1) = k
Z
1
k
0
xe
1−x
f(x) dx(k > 1)
证明至少存在一点 ξ ∈ (0, 1)，使得 f
′
(ξ) = (1 − ξ
−1
)f(ξ)。
解 TODO。构造 F (x) = xe
1−x
f(x)。套中值定理。
问题 000013
设 f(x) 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内二阶可导，过点 A(0, f(0)) 与 B(1, f (1)) 的直线与曲线 y = f(x)
相交于点 C(c, f(c))，其中 0 < c < 1，证明存在 ξ ∈ (0, 1)，使得 f
′′
(ξ) = 0。
100
解 TODO。构造 F (x) = (1 − x)f(0) + xf(1) − f(x)，有 F (0) = F (1) = F (c) = 0。套中值定理。
问题 000016
设 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上导函数连续，且存在 c ∈ (a, b) 使得 f
′
(c) = 0。证明：存在
ξ ∈ (a, b)，使得
f
′
(ξ) − f(ξ) + f (a) = 0
解 几何角度很直观，即
f
′
(x)−f(a)
f
′
(x)
存在值为 1 的时候。但是零点很恼人，严谨的说明是要费一番功夫的。
积分构造
F (x) =
f(x) − f(a)
e
x
, F
′
(x) =
f
′
(x) − f(x) + f(a)
e
x
=
f
′
(x)
e
x
− F (x)
问题转化为存在 ξ 使得 F
′
(ξ) = 0。
易知 F (a) = 0, F
′
(c) = −F (c)。因此由 Lagrange 中值定理得，存在 x
0
∈ (a, c) 使得
F
′
(x
0
) =
F (c) − F (a)
c − a
由于
F
′
(x
0
)F
′
(c) =
−F (c)
2
c − a
< 0
因此由介值定理可知，必存在 ξ ∈ (x
0
, c) 使得 F
′
(d) = 0。
问题 000018
（1）证明：当 x ⩾ 1 时，有
1
x + 1
< ln
1 +
1
x
<
1
x
（2）证明：设 f(x) 在 [1, ∞) 连续可导，且
f
′
(x) =
1
1 + f
2
(x)
r
1
x
−
s
ln
1 +
1
x
!
有 lim
x→+∞
f(x) 存在。
解 （1）显然求导即证。
（2）显然 f
′
(x) > 0。由于 1 + f
2
(x) ⩾ 1，因此
0 < f
′
(x) <
1
√
x
−
1
√
x + 1
<
1
2x
√
x
故 f(x) 在 [1, ∞) 上单调递增，积分有
f(t) − f(1) =
Z
t
1
f
′
(x) dx <
Z
t
1
1
2x
√
x
dx = 1 −
1
√
t
< 1
由于 f 单调递增且有界，故极限存在。
问题 000020
设
f
n
(x) = cos x + cos
2
x + ··· + cos
n
x
101
（1）证明：对于每个 n，方程 f
n
(x) = 1 在 [0,
π
3
) 内有且仅有一个实根。
（2）证明： lim
n→∞
x
n
存在，并求其值。
解 （1）设
g
n
(x) = −1 +
n
X
i=1
x
i
=
2x − 1 − x
n+1
1 − x
, x 6= 1
因此 f
n
(x) = g
n
(cos x)，由于 cos x 单调，即证 g
n
(x) = 0 在 (
1
2
, 1] 内有且仅有一个实根。
令 h
n
(x) = 2x − 1 − x
n+1
，求导
h
′
n
(x) = 2 − (n + 1)x
n
, h
′′
n
(x) = −n( n + 1)x
n−1
⩽ 0
可知 h
′
n
(x) 单调递减，解得零点 x
0
=
n
q
2
n+1
。
当 x ∈ (x
0
, 1] 时，h
n
(x) 单调递减，知 h
n
(x) ⩾ h
n
(1) = 0。当 x ∈ (x
0
, 1) 时，h
n
(x) 单调递增。又
h
n
(
1
2
) < h
n
(1) = 1 < h
n
(x
0
)，故存在唯一解。
（2）设 y
n
= cos x
n
。注意到
h
n+1
(y
n
) = 2y
n
− 1 − y
n+1
n
> 2y
n
− 1 − y
n
n
= h
n
(y
n
) = 0
故 y
n+1
< y
n
。因此 y
n
单调递减且有界，故收敛。设极限为 A，显然 A ∈ (
1
2
, 1), 得到
0 = 2A − 1 − lim
n→∞
x
n+1
n
= 2 A − 1
故 A =
1
2
，反推 x
n
→
π
3
。
（2）其实可以更直接的定出答案。注意到
h
n
n + 1
2n
=
1
n
−
n + 1
2n
n+1
>
1
n
−
1
2
n+1
> 0
因此
1
2
< cos x
n
<
n+1
2n
。由夹逼准则知 x
n
→
π
3
。
问题 000021
（1987 卷 I）设函数 f(x) 在闭区间 [0, 1] 上可微，对于 [0, 1] 上的每一个 x，函数 f(x) 的值都在开
区间 (0, 1) 内，且 f
′
(x) 6= 1。证明：在 (0 , 1) 内有且仅有一个 x，使 f(x) = x。
解 设 F (x) = f(x) − x，注意到
F (0) = f (0) > 0, F (1) = f (1) − 1 < 0
因此 F (x) 至少存在一个实根。设存在两个不同的实根 x
1
, x
2
，由 Lagrange 中值定理知存在 ξ ∈ (0, 1)
f
′
(ξ) =
f(x
1
) − f(x
2
)
x
1
− x
2
= 1
故矛盾，因此实根唯一。
问题 000023
设函数 f 在 [0, 1] 上二阶可导，且
R
1
0
f(x) dx = 0，则
A. 当 f
′
(x) < 0 时，f (
1
2
) < 0。B. 当 f
′′
(x) < 0 时，f (
1
2
) < 0。
102
C. 当 f
′
(x) > 0 时，f (
1
2
) < 0。D. 当 f
′′
(x) > 0 时，f (
1
2
) < 0。
解 答案 D。考虑原函数 F (x) 的 Lagrange 余项 Taylor 公式，令 x
0
=
1
2
，即存在 ξ ∈ (0, 1) 使得
F (x) = F (x
0
) + F
′
(x
0
)(x − x
0
) +
F
′′
(x
0
)
2
(x − x
0
)
2
+
F
′′′
(ξ)
6
(x − x
0
)
3
注意到 F (0) = F (1)，带入即
4F
′
(x
0
) + F
′′′
(x
0
) = 0
故 f
′′
(x)f(
1
2
) < 0。
问题 000024
设函数 f 在 [− 2, 2] 上二阶可导，且 |f| ⩽ 1。又
1
2
[f
′
(0)]
2
+ [f(0)]
3
>
3
2
证明：存在 ξ ∈ (−2, 2)，使得 f
′′
(ξ) + 3[f(ξ)]
2
= 0 。
解 构造
F (x) =
1
2
[f
′
(x)]
2
+ [f(x)]
3
, F
′
(x) = f
′
(x)(f
′′
(x) + 3f(x))
下面只需证存在 ξ 使得 F
′
(ξ) = 0 且 f
′
(ξ) 6= 0 即可。注意到存在 η
1
∈ (0, 2) 使得
|f
′
(η
1
)| =
|f(2) − f(0)|
2 − 0
⩽ 1
故
F (η
1
) ⩽
1
2
+ 1 =
3
2
同理存在 η
2
∈ (−2, 0) 使得 F (η
2
) ⩽
3
2
。又 F (0) ⩾
3
2
，故存在最大值 ξ ∈ (η
1
, η
2
)，且由 Fermat 定理知
F
′
(ξ) = 0。此时 F (ξ) >
3
2
，故 f
′
(ξ) 6= 0。
问题 000025
设
f(x) =
Z
x
0
e
t
2
dx, x > 0
（1）证明：对于任意的 x 存在唯一的 θ
x
∈ (0, 1) 使得 f(x) = xf
′
(x · θ
x
)。
（2）求 lim
x→0
+
θ
x
。
解 （1）不妨将定义域延伸至 f (0) = 0。由中值定理知存在 ξ ∈ (0, x) 使得
f(x) − f(0)
x − 0
=
f(x)
x
= f
′
(ξ)
又 f
′
(x) = e
x
2
> 0，故 ξ 唯一，即 θ
x
=
ξ
x
∈ (0, 1)。
（2）容易解得
θ
x
=
1
x
r
ln
f(x)
x
故极限为
lim
x→0
+
θ
x
= lim
x→0
+
r
f(x) − x
x
3
=
√
3
3
103
问题 000026
已知 f(x) 是二阶可导的正值函数，且 f(0) = f
′
(0) = 1 并
f(x)f
′′
(x) ⩾ [f
′
(x)]
2
那么
A. f(2) ⩽ e
2
⩽
p
f(1)f(3)。B. e
2
⩽ f(2) ⩽
p
f(1)f(3)。
C.
p
f(1)f(3) ⩽ e
2
⩽ f(2)。D.
p
f(1)f(3) ⩽ f(2) ⩽ e
2
。
解 答案是 B。注意到我们应该对
f
′
f
进行改造，构造
g(x) = ln f (x) − x
即
g
′
(x) =
f
′
(x)
f(x)
− 1, g
′′
(x) =
f(x)f
′′
(x) − [f
′
(x)]
2
f
2
(x)
⩾ 0
故 g
′
(x) ⩾ g
′
(0) = 0，故 g( x) ⩾ 0，即 f(x) ⩾ e
x
。注意到凹凸性，由 Jensen 不等式即可比大小。
问题 000032
（1988 卷 I）设函数 f 在区间 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内有 f
′
(x) > 0。证明：在 (a, b) 内存在唯一
的 ξ，使得曲线 y = f(x) 与两直线 y = f(ξ), x = a 所围平面图形面积 S
1
是曲线 y = f(x) 与两直
线 y = f(ξ), x = b 所围平面图形 S
2
的三倍。
解 考虑面积的函数
S
1
(t) =
Z
t
a
(f(t) − f(x)) dx
S
2
(t) =
Z
b
t
(f(x) − f(t)) dx
设 F (t) = S
1
(t) − 3S
2
(t)。注意到
F (a) = −3S
2
(a) < 0, F (b) = S
1
(b) > 0
故至少存在一个 ξ ∈ (a, b) 使得 F (ξ) = 0。再注意到
F
′
(t) =
d
dt
f(t)(3b − a − 2t) −
Z
t
a
f(x) dx − 3
Z
b
t
f(x) dx
!
= f
′
(t)(3b − a − 2t) > 0
故单调，即零点唯一。
问题 000033
如果 f 在 [a, b] 上导数连续，那么存在 ξ ∈ (a, b) 满足
af(b) − bf(a)
a − b
= f(ξ) − ξf
′
(ξ)
104
解 注意到
LHS =
f(b)
b
−
f(a)
a
1
b
−
1
a
取 F (x) =
f(x)
x
, G(x) =
1
x
，套 Cauchy 定理即可。
问题 000034
如果 f 在 [a, b] 上导数连续且不是线型函数，那么存在 ξ ∈ (a, b) 满足
|f
′
(ξ)| ⩾
f(b) − f(a)
b − a
解 设
F (x) = f (x) − f(a) −
f(b) − f(a)
b − a
(x − a), F
′
(x) = f
′
(x) −
f(b) − f(a)
b − a
由非线性性知存在 F (c) 6= 0，不妨设 F (c) > 0，存在两点 ξ
1
∈ (a, c), ξ
2
∈ (c, b) 有
F
′
(ξ
1
) =
F (c) − F (a)
c − a
> 0, F
′
(ξ
2
)
故有
f
′
(ξ
2
) <
f(b) − f(a)
b − a
< f
′
(ξ
1
)
不难推出 ξ
1
, ξ
2
总有一个满足题意的。
问题 000035
如果 f 在 [a, b] 上二阶可导且 f(a) = f(b) = 0，则对任意的 x ∈ (a, b) 存在 ξ
x
∈ (a, b) 满足
f(x) =
f
′′
(ξ
x
)
2
(x − a)(x − b)
解 固定 x 并定义
λ =
2f(x)
(x − a)(x − b)
构造
F (u) = f (u) −
λ
2
(u − a)(u − b)
注意到 F (a) = F (x) = F (b) = 0，套两次中值定理即得存在 ξ
x
使得 F
′′
(ξ
x
) = 0。
问题 000036
如果 f 在 [a, b] 上三阶可导且 f(a) = f
′
(a) = f (b) = 0，则对任意的 x ∈ (a, b) 存在 ξ
x
∈ (a, b) 满足
f(x) =
f
′′′
(ξ
x
)
6
(x − a)
2
(x − b)
解 TODO 仿照 000035 的计算方法，构造
F (u) = f (u) −
λ
6
(u − a)
2
(u − b),
6f(x)
(x − a)
2
(x − b)
求导即证。
105
问题 000037
如果 f 在 [a, b] 上二阶可导，则对任意的 c ∈ (a, b) 存在 ξ
c
∈ (a, b) 满足
f
′′
(ξ
c
) =
2
f
(
a
)
(a − b)(a − c)
+
2
f
(
b
)
(b − c)(b − a)
+
2
f
(
c
)
(c − a)(c − b)
解 TODO 仿照 000035 的计算方法，构造三个 λ 和 F (x)，求导即证。
问题 000038
设 f 在区间 [a, b] 上连续可导，且 0 < a < b，那么存在 ξ, η ∈ (a, b) 满足
f
′
(η) = (b
2
+ ab + a
2
+ 2)
f
′
(ξ)
3ξ
2
+ 2
解 首先选取 η
f(b) − f(a)
b − a
= f
′
(η)
接下来即证
f(b) − f(a)
b
3
− a
3
+ 2(b − a)
=
f
′
(ξ)
3ξ
2
+ 2
容易套用 Cauchy 中值定理。
问题 000039
设 f 在区间 [0, 1] 上二阶可导且 |f(0)| ⩽ 1, |f(1)| ⩽ 1，同时 |f
′′
(x)| ⩽ 2。求证 |f
′
(x)| ⩽ 3。
解 首先用两次 Taylor 公式，得到
f(1) − f(0) = f
′
(x) +
f
′′
(ξ)
2
(1 − x)
2
−
f
′′
(η)
2
x
2
因此
|f
′
(x)| ⩽
f(1) − f(0) −
f
′′
(ξ)
2
(1 − x)
2
+
f
′′
(η)
2
x
2
⩽ 2 + |1 − x|
2
+ |x|
2
⩽ 3
问题 000040
设 f 是 [a, b] 上的连续可导函数，且 0 < a < b，那么存在 ξ, η ∈ (a, b) 使得
f
′
(ξ) =
a + b
2η
f
′
(η)
证明 首先存在 ξ ∈ (a, b) 使得
f
′
(ξ) =
f(b) − f(a)
b − a
构造
F (x) = f (x) − f(a) −
f(b) − f(a)
b
2
− a
2
(x
2
− a
2
)
106
注意到 F (a) = F (b) = 0，因此存在 η ∈ (a, b) 使得
F
′
(η) = f
′
(η) − 2η
f(b) − f(a)
b
2
− a
2
= f
′
(η) −
2ηf
′
(ξ)
b + a
= 0
□
问题 000041
设 f 是 [a, b] 上的连续可导函数，且 f
′
(a) = f
′
(b) = 0，那么存在 ξ ∈ (a, b) 使得
f(ξ) − f(a) = f
′
(ξ)(ξ − a)
证明 首先构造
F (x) =
f(x) − f(a)
x − a
, F
′
(x) =
1
x − a
f
′
(x) −
f(x) − f(a)
x − a
, x ∈ (a, b]
可以令 F (a) = f
′
(a) = 0 使其在 x = a 处连续。注意到
F (b) =
f(b) − f(a)
b − a
, F
′
(b) = −
f(b) − f(a)
(b − a)
2
故存在 x
0
∈ (a, b)
F
′
(x
0
)F
′
(b) =
F (b) − F (a)
b − a
F
′
(b) ⩽ 0
因此存在 ξ ∈ (x
0
, b) 使得 F
′
(ξ) = 0。 □
问题 000042
设函数 f 是 [a, b] 上连续且二阶可导，且 f
′
(a) = f
′
(b) = 0，那么存在 c ∈ (a, b) 使得
|f
′′
(c)| ⩾
4
(b − a)
2
|f(b) − f(a)|
证明 我们选取 x
0
构造
F (x) = f (x) − f(x
0
) − f
′
(x
0
)(x − x
0
), G(x) = (x − x
0
)
2
连续使用两次微分中值定理得到
F (x)
G(x)
=
F (x) − F (x
0
)
G(x) − G(x
0
)
=
F
′
(ξ
1
)
G
′
(ξ
1
)
=
f
′
(ξ
1
) − f
′
(x
0
)
2(ξ
1
− x
0
)
=
f
′′
(ξ
2
)
2
其中 x
0
< ξ
2
< ξ
1
< x。定 x =
a+b
2
，取 x
0
= a 得到
f
a + b
2
= f(a) +
f
′′
(η
1
)
8
(b − a)
2
, η
1
∈
a,
a + b
2
同理可取 x
0
= b 得到
f
a + b
2
= f(b) +
f
′′
(η
2
)
8
(b − a)
2
, η
2
∈
a + b
2
, b
从而有
4(f(b) − f(a))
(b − a)
2
=
f
′′
(η
1
) − f
′′
(η
2
)
2
故
4
(b − a)
2
|f(b) − f(a)| =
|f
′′
(η
1
) − f
′′
(η
2
)|
2
⩽ max{f
′′
(η
1
), f
′′
(η
2
)}
□
107
问题 000043
设 f 在区间 [a, b] 上二阶可导且 f(a) = f(b) = 0，且二阶导数 |f
′′
(x)| ⩽ A 有界。则
f
a + b
2
⩽
A
8
(b − a)
2
解 用两次 Taylor 展开，得到
f(a) + f(b)
2
= f
a + b
2
+
f
′′
(ξ) + f
′′
(η)
4
(b − a)
2
4
故
f
a + b
2
⩽
A
8
(b − a)
2
问题 000064
（1995 卷 I）函数 f(x) 和 g(x) 在 [a, b] 上存在二阶导数，并且 g
′′
(x) 6= 0，f(a) = f(b) = g(a) =
g(b) = 0，试证：
（1）在开区间 (a, b) 内 g(x) 6= 0。
（2）在开区间 (a, b) 内至少存在一点 ξ，使
f(ξ)
g(ξ)
=
f
′′
(ξ)
g
′′
(ξ)
解 （1）Rolle 定理显然。
（2）构造
F (x) = f (x)g
′
(x) − f
′
(x)g(x)
注意到 F (a) = F (b) = 0，而且
F
′
(x) = f (x)g
′′
(x) − f
′′
(x)g(x)
因此存在 ξ 使得
F
′
(ξ) =
F (b) − F (a)
b − a
= 0
原式成立。
10.3 一元积分学
问题 000008
求
Z
+∞
−∞
e
−x
2
dx
解
Z
+∞
−∞
e
−x
2
dx =
√
π
108
问题 000014
求
Z
1
(x
2
+ a
2
)
2
dx
解 令 x = a tan t，则
x
2
+ a
2
= a
2
sec
2
t, dx = a sec
2
t dt
有
LHS =
1
a
3
Z
cos
2
t dt =
1
2a
3
arctan
x
a
+
ax
x
2
+ a
2
问题 000015
求
Z
dx
√
x
2
+ a
dx
解
LHS = ln |x +
√
x
2
+ a| + C
问题 000022
设函数
f(x) = x
Z
0
1
e
−x
2
t
2
dt
则当 0 < a < x < b 时有：
A. xf(x) > af (a)，B. bf (b) > xf(x)，C. xf(a) > af (x)，D. xf(b) > bf(x)。
解 答案 D。首先积分换元
f(x) =
Z
0
1
e
−(xt)
2
d(xt) = −
Z
1
0
e
−x
2
dx
剩下的比较直观，就不写了。
问题 000027
已知 a > 0，则对于反常积分
I =
Z
1
0
ln
x
x
a
dx
的敛散性的判别，下列正确的是
A. 当 a > 1 时 I 收敛。B. 当 a < 1 时 I 收敛。
C. 敛散性和 a 的取值无关，必收敛。D. 敛散性与 a 的取值无关，必发散。
解 当 a < 1 时，注意到
f
′
(x) =
1 − a ln x
x
a+1
故 |f(x)| ⩽ |f (e
1/a
)|，有界故收敛。当 a ⩾ 1 时，考虑与 x
−a
进行比较，注意到当 0 < x <
1
e
时有
f(x) < −
1
x
a
，故 I 发散。
109
问题 000028
设 p 为常数，若反常积分
I =
Z
1
0
ln x
x
p
(1 − x)
1−p
dx
收敛，求 p 的取值范围。
解 答案是 (−1, 1)。考虑划分成两部分
I =
Z
1
2
0
ln x
x
p
(1 − x)
1−p
dx +
Z
1
1
2
ln x
x
p
(1 − x)
1−p
dx = I
1
+ I
2
分别对 x → 0 和 x → 1 讨论即可，有点麻烦。
问题 000029
已知
b =
Z
+∞
1
2x
3
+ ax + 1
x(x + 2)
− (2x − 4)
dx
其中 a, b 为常数，求 ab。
解 答案是 −4 ln 3。注意到
b =
Z
+∞
1
(a + 8)x + 1
x(x + 2)
dx =
Z
+∞
1
1
2x
−
2a + 15
2(x + 2)
dx
讨论一下，就知道 a = −8, b =
ln 3
2
。
问题 000044
任给 β ⩾ 0 和 b > a > 0 证明
Z
b
a
e
−βx
sin x
x
dx
⩽
2
a
解 用积分第二中值定理，得到
Z
b
a
e
−βx
x
sin x dx ⩽
e
−aβ
a
Z
ξ
a
e
−βx
x
sin x dx
因此
Z
b
a
e
−βx
sin x
x
dx
⩽
2
ae
aβ
⩽
2
a
问题 000045
设
f
在
[
a, b
]
上连续，且
Z
b
a
f(x) dx =
Z
b
a
xf(x) = 0
证明：存在 x
1
6= x
2
使得 f(x
1
) = f (x
2
) = 0。
110
解 显然 f 至少存在一个零点，否则积分不可能为 0。假设 x
0
是其唯一零点，不妨设左边小于 0 右边大
于 0。那么
Z
b
a
(x − x
0
)f(x) dx =
Z
b
a
xf(x) dx − x
0
Z
b
a
f(x) dx = 0
注意到 (x − x
0
)f(x) > 0 在 x 6= x
0
成立，故左边积分不等于 0，矛盾。
问题 000046
设 f 在 [a, b] 上可积且 a > 0，证明
|f(0)| ⩽
1
a
Z
a
0
|f(x)|dx +
Z
a
0
|f
′
(x)|dx
解 有积分中值定理得到
Z
a
0
f(x) dx = af(ξ)
因此
f(0) = f (ξ) −
Z
ξ
0
f
′
(x) dx =
1
a
Z
a
0
f(x) dx −
Z
ξ
0
f
′
(x) dx
从而
|f(0)| ⩽
1
a
Z
a
0
|f(x)|dx +
Z
a
0
|f
′
(x)|dx
问题 000047
假设在 f 在 [0, 1] 上可导，且
f(1) = 2
Z
1
2
0
xf(x) dx
证明存在 ξ ∈ (0, 1) 使得
f
′
(ξ) = −
f(ξ)
ξ
解 构造 F (x) = xf(x)，由积分中值定理知存在 η ∈ (0,
1
2
) 使得
f(1) = 2
Z
1
2
0
F (x) dx = F (η)
又 F (0) = 0, F (1) = f(1) = F (η)，故存在 ξ ∈ (η, 1) 使得
F
′
(ξ) =
F (1) − F (η)
1 − η
= 0 = f(ξ) + ξf
′
(ξ)
问题 000048
假设在 f 在 [0, 1] 上可导，那么存在 c
x
∈ (a, x) 使得
Z
x
a
f(t) dt = f(c
x
)(x − a)
若 f 在 a 处可导且 f
′
(a) 6= 0 则
lim
x→a+
c
x
− a
x − a
=
1
2
111
解 由积分中值定理，c
x
的存在是显然的。定义
I = lim
x→a+
1
(x − a)
2
Z
x
a
f(t) dt − (x − a)f(a)
首先由 L’Hopital 法则得到
I = lim
x→a+
f(x) − f(a)
2(x − a)
=
1
2
f
′
(a)
又
I = lim
x→a+
f(c
x
) − f(a)
x − a
= f
′
(a)
∂c
x
∂x
当 f
′
(a) 6= 0 时比较即知。
问题 000049
假设 f 在 [a, b] 上存在二阶导数，那么存在 ξ ∈ (a, b) 满足
f
′′
(ξ) =
24
(b − a)
3
Z
b
a
f(x) − f
a + b
2

dx
解 令 x
0
=
a+b
2
，由 Taylor 公式知存在 η ∈ (a, x) 使得
f(x) − f(x
0
) = f
′
(x
0
)(x − x
0
) +
f
′′
(η
x
)
2
(x − x
0
)
2
积分得
Z
b
a
(f(x) − f(x
0
)) dx =
1
2
Z
b
a
f
′′
(η
x
)(x − x
0
)
2
dx
由积分中值定理，存在 ξ 使
1
2
Z
b
a
f
′′
(η
x
)(x − x
0
)
2
dx =
1
2
f
′′
(ξ)
Z
b
a
(x − x
0
)
2
dx =
(b − a)
3
24
f
′′
(ξ)
问题 000050
假设 f 在 [0, 1] 上连续且 f > 0，则对任意正整数 n 存在 ξ
n
满足
1
n
Z
1
0
f(x) dx =
Z
ξ
n
0
f(x) dx +
Z
1
1−ξ
n
f(x) dx
且
lim
n→+∞
nξ
n
=
1
f(0) + f(1)
Z
1
0
f
(
x
)
d
x
解 设 F 为 f 的原函数，构造
G(x) = F (x) − F (0) + F (1) − F (1 − x)
注意到
G
′
(x) = f (x) + f (1 − x) > 0, G(0) = 0, G(1) = 2 F (1)
由于 G 连续且单调递增，因此存在 ξ
n
使得
1
n
F (1) = G(ξ
n
)，且 ξ
n
单调递减趋于 0。又由积分中值定理
知存在 α
n
∈ (0, ξ
n
), β
n
∈ (1 − ξ
n
, 1) 使得
G(ξ
n
) = f (α
n
)ξ
n
+ f(β
n
)ξ
n
112
因此
lim
n→+∞
nξ
n
= lim
n→+∞
nG(ξ
n
)
f(α
n
) + f(β
n
)
=
F (1)
f(0) + f(1)
问题 000051
如果 f, g 在 [a, b] 上连续且 f, g > 0，那么存在 ξ ∈ (a, b) 满足
f(ξ)
R
ξ
a
f(x) dx
−
g(ξ)
R
b
ξ
g(x) dx
= 1
解 设 F, G 分别为 f, g 的原函数，即证
F
′
(ξ)
F (ξ)
−
G
′
(ξ)
G(b) − G(ξ)
= 1
构造
H(x) = e
−x
F (x)(G(b) − G(x))
注意到 H(a) = H(b) = 0，因此存在 ξ 使得
H
′
(ξ) =
F (ξ)(G(b) − G(ξ))
e
ξ
F
′
(ξ)
F (ξ)
−
G
′
(ξ)
G(b) − G(ξ)
− 1
= 0
问题 000052
如果 f, g 在 [a, b] 上连续且 φ(x) 6= 0，那么存在 ξ ∈ (a, b) 满足
g(ξ)
Z
b
a
f(x)φ(x) dx = f (ξ)
Z
b
a
g(x)φ(x) dx
解 构造
F (x) =
Z
b
a
f(t)φ(t) dt
!
Z
x
a
g(t)φ(t) dt −
Z
b
a
g(t)φ(t) dt
!
Z
x
a
f(t)φ(t) dt
注意到
F
′
(x) = φ(x)
g(x)
Z
b
a
f(t)φ(t) dt − f(x)
Z
b
a
g(t)φ(t) dt
!
, F (a) = F (b) = 0
故存在 F
′
(ξ) = 0。
问题 000053
假设 f 在 [− 1, 1] 且在 x = 0 处可导，f(0) = 0, f
′
(0) 6= 0。求极限
I = lim
x→0+
R
x
0
(x
2
− t
2
)f(t) dt
R
x
0
tf(x
2
− t
2
) dt
解 容易发现
I = lim
x→0+
R
x
0
(x
2
− t
2
)f(t) dt
1
2
R
x
2
0
f(u) du
= lim
x→0+
2
f(x
2
)
Z
x
0
f(t) dt
注意条件里没有导数连续，因此不能用 L’Hospital 法则，考虑用导数定义
I = lim
x→0+
2
R
x
0
f(t) dt
x
2
x
2
f(x
2
) − f(0)
= lim
x→0+
f(x)
f
′
(0)x
= 1
113
问题 000054
假设 f 在 [0, 1] 上连续且 f ⩾ 0。若满足
f
2
(x) ⩽ 1 + 2
Z
x
0
f(t) dt
求证：f(x) ⩽ 1 + x。
解 令 F 为 f 的原函数，原方程即为 F
′
(x)
2
⩽ 1 + 2 F (x)。注意到
0 ⩽
F
′
(x)
p
1 + 2F (x)
=
√
2F + 1
′
⩽ 1
两侧积分得到
1 ⩽
p
2F (x) + 1 ⩽ 1 + x
因此 f = F
′
⩽
p
2F (x) + 1 ⩽ x + 1。
问题 000055
假设 f 在 [0, 1] 上连续在 (0, 1) 上可导，且 f(0) = f(
1
4
) = 0，且
Z
3
4
1
4
f(x) dx =
f(1)
2
证明：存在 ξ ∈ (0, 1) 满足 f
′′
(ξ)0。
解 根据积分中值定理，知存在
Z
3
4
1
4
f(x) dx =
f(η
1
)
2
=
f(1)
2
即 f(η
1
) = f (1)，故存在 f
′
(η
2
) = 0。又 f(0) = f(
1
4
) 知存在 f
′
(η
3
) = 0，因此存在 ξ ∈ (0, 1) 使得 f
′′
(ξ) = 0。
问题 000056
设 f 在 [a, b] 上导数存在且连续，又 f(a) = 0，求证：
Z
b
a
f
2
(x) dx ⩽
(b − a)
2
2
Z
b
a
(f
′
(x))
2
dx
解 由 Cauchy 积分不等式得
f
2
(x) =
Z
x
a
f
′
(t) dt
2
⩽ (x − a)
Z
x
a
(f
′
(t))
2
dt
因此
Z
b
a
f
2
(x) dx ⩽
Z
b
a
(x − a) dx
!
Z
b
a
(f
′
(x))
2
dx =
(b − a)
2
2
Z
b
a
(f
′
(x))
2
dx
114
问题 000057
设 f 在 [0�1] 上导数存在且连续，又 f(0) = 0 且 0 ⩽ f
′
⩽ 1，求证：
Z
1
0
f
3
(x) dx ⩽
Z
1
0
f(x) dx
2
解 设
G(x) =
Z
x
0
f(t) dt
2
−
Z
x
0
f
3
(t) dt
求导得
G
′
(x) = f (x)
2
Z
x
0
f(t) dt − f
2
(x)
令
H(x) = 2
Z
x
0
f(t) dt − f
2
(x), H
′
(x) = 2f (x)(1 − f
′
(x)) ⩾ 0
因此 H(x) ⩾ H(0) = 0，故 G(x) ⩾ G(0) = 0。
问题 000058
设 f 在 [0, 1] 上二阶导数连续，f(0) = f(1) = 0，且在 (0, 1) 上 f > 0，求证：
Z
1
0
f
′′
(x)
f(x)
dx ⩾ 4
解 不妨设 f > 0。设 x = a 时取到最大值，对两侧端点取微分中值定理
f
(
a
)
−
f
(0)
a − 0
= f
′
(η
1
),
f
(1)
−
f
(
a
)
1 − a
= f
′
(η
2
)
因此
Z
1
0
f
′′
(x)
f(x)
⩾
1
f(a)
Z
η
2
η
1
|f
′′
(x)|dx
⩾
|f
′
(η
1
) − f
′
(η
2
)|
f(a)
=
1
a(1 − a)
⩾ 4
10.4 常微分方程
问题 000061
（1991 卷 I）在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任何一点 P (x, y) 处的曲率等于此曲线在该点法
线段 P Q 长度的倒数（Q 是法线与 x 轴的交点），且曲线在 (1, 1) 处的切线与 x 轴平行。的值最小。
解 由题意得
y
′′
(1 + (y
′
)
2
)
3
2
=
1
y
p
1 + (y
′
)
2
整理得
y
′′
y − (y
′
)
2
= 1
115
构造 p = y
′
，得 y
′′
=
pdp
dy
，故
1 + p
2
= yp
dp
d
y
分离变量解得
y
2
− p
2
= 1
容易解得
y =
e
x−1
− e
−(x−1)
2
问题 000063
（1993 卷 I）设物体 A 从点 (0, 1) 出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动。物体 B 从点 (1, 0)
与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程，
并写出初始条件。
解 首先物体 A 的速度指向物体 B，即
dy
dx
=
1 + vt − y
0 − x
同时速度是 2v，得到
p
(dx)
2
+ (dy)
2
= 2 v dt
这里需要把变量 t 消去，联立得
2xy
′′
+
p
1 + (y
′
)
2
= 0
10.5 无穷级数
问题 000065
判断级数
∞
X
n=2
(−1)
n
(n + (−1)
n
)
p
的收敛性（绝对、条件），其中 p > 1。
解 当 p > 1 时，显然绝对收敛，又 0 < p ⩽ 1 显然绝对发散，接下来只需考察是否条件收敛。设原来级
数为
P
a
n
，构造
b
n
=
(
−
1)
n
n
p
令其和函数分别为 S
n
, T
n
，不难发现
T
2n
+ S
2n
= 0 , T
2n+1
+ S
2n+1
=
1
(2n + 1)
p
−
1
(2n)
p
→ 0
又显然 T
n
→ 0，故 S
n
→ 0。
116
10.6 概率论与数理统计
问题 000062
（1989 卷 I）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从均值为 1、标准差为
√
2 的正态分布，而 Y
服从标准正态分布，求随机变量 Z = 2X − Y + 3 的概率密度函数。
解 由于 Z 是 X, Y 的线性组合，故也服从正态分布。分别计算 E(Z), D(Z)。
E(Z) = 2E(X) − E( Y ) + 3 = 5, D(Z) = 4D(X) + D(Y ) + 0 = 9
故 Z ∼ N(5, 9)，得到
f
Z
(z) =
1
3
√
2π
exp
−
(z − 5)
2
18
117